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Esercizio 66  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Una locomotiva, che sviluppa una potenza costante P, accelera un treno da una velocità iniziale di modulo v_0 ad una velocità finale di modulo v_f in un intervallo di tempo \Delta t. Trascurando ogni forma di attrito, si calcoli la massa del treno in funzione di P, \Delta t, v_f e v_0.

 

 

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Svolgimento.

Per definizione la potenza istantanea P(t) sviluppata dalla locomotiva è data da

(1)   \begin{equation*} P(t)=\dfrac{dL}{dt}, \end{equation*}

dove dL è il lavoro infinitesimo svolto dalla locomotiva nell’intervallo temporale infinitesimo dt. Dall’equazione (1) deduciamo che il lavoro L svolto dalla locomotiva in un intervallo di tempo generico \Delta t=[t_0,t] è dato da

(2)   \begin{equation*} L=\int_{t_0}^{t}P(t')\,dt'. \end{equation*}

Inoltre, sfruttando il teorema delle forze vive otteniamo che

(3)   \begin{equation*} L=\dfrac{1}{2}mv^2(t)-\dfrac{1}{2}mv^2(t_0), \end{equation*}

dove v^2(t) e v^2(t_0) sono rispettivamente il modulo quadro della velocità \vec{v} al tempo t>0 e il modulo quadro della velocità \vec{v} al tempo iniziale t=t_0>0. Uguagliando le equazioni (2) e (3) ricaviamo che in generale vale la seguente relazione

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2(t)-\dfrac{1}{2}mv^2(t_0)=\int_{t_0}^{t}P(t')\,dt'. \end{equation*}

Nel caso specifico, la locomotiva sviluppa una potenza P(t') costante per cui l’equazione (4) diventa

(5)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2=P\int_{t_0}^{t}dt'\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2=P(t-t_0)\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}m(v_f^2-v_0^2)=P\Delta t, \end{equation*}

dove abbiamo posto v(t)\equiv v_f e v(t_0)\equiv v_0. Esplicitando la massa m della locomotiva nell’equazione (5) otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ m=\dfrac{2P\Delta t}{v_f^2-v_0^2}.}\]