Esercizio 63 . Una molla ideale di massa trascurabile con costante elastica
è disposta verticalmente e fissata con un suo estremo al suolo, mentre all’altro suo estremo è fissato un piattello di massa trascurabile. La molla è inizialmente in posizione di riposo. Da un’altezza di
m dal piattello, nell’istante
, viene lasciato cadere un corpo di massa
kg che è inizialmente fermo. Trascurando la perdita di energia in seguito all’urto e l’attrito del corpo con l’aria, calcolare la massima compressione della molla.
Svolgimento.
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Il sistema è conservativo in quanto non si verificano dissipazioni d’energia in seguito all’urto tra piattello e corpo di massa , inoltre le uniche forze agenti sul sistema sono la forza peso
per ogni istante
e la forza elastica
negli istanti successivi all’urto con il piattello, che sono rispettivamente forze conservative. L’energia meccanica del sistema, quindi, si conserva in ogni istante
. Il problema chiede qual è la massima compressione della molla, situazione che si verifica quando il sistema corpo-piattello è istantaneamente fermo nel sistema di riferimento scelto. Di seguito, in figura 3, rappresentiamo la situazione in cui il sistema ha raggiunto la massima compressione.
Nell’istante l’energia meccanica totale iniziale del corpo di massa
è
(1)
Nell’istante in cui la molla raggiunge la massima compressione l’energia meccanica finale è
(2)
dove è la posizione del piattello quando la molla è alla massima compressione. Per la conservazione dell’energia, si ha
(3)
da cui avvalendoci delle due precedente equazioni, si ottiene
(4)
L’equazione sopra riportata è un’equazione di secondo grado con incognita , che può essere riscritta come
(5)
Risolvendo quindi quest’ultima equazione, si ricavano le soluzioni e
, ovvero:
(6)
Notiamo che la posizione del piattello deve essere negativa nel sistema di
riferimento scelto, pertanto tra e
prenderemo solo la soluzione negativa. Segue quindi che
, ovvero:
Sostituendo i valori numerici dati dal problema, si ottiene che la compressione massima della molla vale .