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Esercizio 63  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale di massa trascurabile con costante elastica k=1300 \text{ N} \cdot \text{m}^{-1} è disposta verticalmente e fissata con un suo estremo al suolo, mentre all’altro suo estremo è fissato un piattello di massa trascurabile. La molla è inizialmente in posizione di riposo. Da un’altezza di h = 7 m dal piattello, nell’istante t=0, viene lasciato cadere un corpo di massa m = 3 kg che è inizialmente fermo. Trascurando la perdita di energia in seguito all’urto e l’attrito del corpo con l’aria, calcolare la massima compressione della molla.

 

 

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Svolgimento.

Si consideri un sistema di riferimento fisso Oy, con l’origine O posta in corrispondenza del centro del piattello, l’asse delle y perpendicolare al suolo e diretta verso l’alto, mentre la molla è in posizione di riposo, come illustrato nella figura 2.

 

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Il sistema è conservativo in quanto non si verificano dissipazioni d’energia in seguito all’urto tra piattello e corpo di massa m, inoltre le uniche forze agenti sul sistema sono la forza peso \vec{P} per ogni istante t\geq0 e la forza elastica \vec{F}_{el} negli istanti successivi all’urto con il piattello, che sono rispettivamente forze conservative. L’energia meccanica del sistema, quindi, si conserva in ogni istante t\geq 0. Il problema chiede qual è la massima compressione della molla, situazione che si verifica quando il sistema corpo-piattello è istantaneamente fermo nel sistema di riferimento scelto. Di seguito, in figura 3, rappresentiamo la situazione in cui il sistema ha raggiunto la massima compressione.

 

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Nell’istante t=0 l’energia meccanica totale iniziale del corpo di massa m è

(1)   \begin{equation*} E_i = mgh+\text{costante}. \end{equation*}

Nell’istante in cui la molla raggiunge la massima compressione l’energia meccanica finale è

(2)   \begin{equation*} E_f = \dfrac{1}{2}k\tilde{y}^2 + mg\tilde{y}+\text{costante}, \end{equation*}

dove \tilde{y} è la posizione del piattello quando la molla è alla massima compressione. Per la conservazione dell’energia, si ha

(3)   \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

da cui avvalendoci delle due precedente equazioni, si ottiene

(4)   \begin{equation*}  mgh = \dfrac{1}{2}k\tilde{y}^2 + mg\tilde{y}. \end{equation*}

L’equazione sopra riportata è un’equazione di secondo grado con incognita \tilde{y}, che può essere riscritta come

(5)   \begin{equation*} k\tilde{y}^2 + 2mg\tilde{y} - 2mgh = 0. \end{equation*}

Risolvendo quindi quest’ultima equazione, si ricavano le soluzioni \tilde{y}_1 e \tilde{y}_2, ovvero:

(6)   \begin{equation*} \tilde{y}_{1,2} = \dfrac{-mg \pm \sqrt{mg(mg+2kh)}}{k}. \end{equation*}

Notiamo che la posizione del piattello deve essere negativa nel sistema di riferimento scelto, pertanto tra \tilde{y}_1 e \tilde{y}_2 prenderemo solo la soluzione negativa. Segue quindi che \tilde{y} = \tilde{y}_2, ovvero:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \tilde{y} = \dfrac{-mg - \sqrt{mg(mg+2kh)}}{k}.}\]

Sostituendo i valori numerici dati dal problema, si ottiene che la compressione massima della molla vale -\tilde{y} = \text{0,59 m}.