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Esercizio 62  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema di riferimento fisso Oxyz, per ogni istante t \geq 0 un punto materiale di massa m = 2\,\text{kg} è vincolato a muoversi lungo l’asse delle x secondo la seguente legge oraria

(1)   \begin{equation*}  x(t) = 4t^3 +t^2+2t-3. \end{equation*}

La precedente equazione è valida per t\geq0. Si consideri che i coefficienti numerici dell’equazione sopra riportata vanno intesi con le
opportune unità di misura affinché la posizione x(t), dove il tempo t è espresso in secondi, abbia come unità di misura il metro. Calcolare la potenza media sviluppata dalla risultante delle forze agenti sul punto materiale nell’intervallo di tempo t\in[0,5]\,\text{s}.

Svolgimento.

Derivando ambo i membri rispetto al tempo t l’equazione (1), si ottiene

(2)   \begin{equation*}  \dot{x}(t) = 12t^2 + 2t+2. \end{equation*}

Per il teorema delle forze vive, il lavoro totale L compiuto dalla risultante delle forze agenti sul punto materiale F nell’intervallo di tempo t\in[0,5]\,\text{s} è dato da

(3)   \begin{equation*} L = \dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2(5) - \dot{x}^2(0)). \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (2) e sostituendo i valori numerici forniti dal testo dell’esercizio, si ottiene:

(4)   \begin{equation*} L = \dfrac{1}{2}\cdot 2\left((12\cdot 5^2+ 2\cdot 5 +2 )^2 - 2^2\right)\text{ J} = 97340 \text{ J}. \end{equation*}

La potenza media P sviluppata da una forza F in un intervallo di tempo \Delta t è data da:

(5)   \begin{equation*} P = \dfrac{L}{\Delta t}, \end{equation*}

dove L è il lavoro totale. Nel caso considerato si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{P = \dfrac{97340}{5} \,{\text{J}}\cdot{\text{s}^{-1}} = \text{19,5 kW}.}\]

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