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Esercizio lavoro ed energia 37

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 37 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 36 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 38. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 37

Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due blocchi di massa m_1 e m_2, collegati tra loro da una molla ideale di costante elastica k, sono appoggiati su un piano inclinato di un angolo \theta. Il piano è scabro nella parte superiore dove si trova m_1 con coefficiente di attrito statico \mu_s, ed è liscio nella parte inferiore dove si trova m_2. Nell’istante iniziale m_1 è in quiete, m_2 ha velocità di modulo v_0 e la molla è al riposo. La velocità di modulo v_0 è diretta parallelamente al piano inclinato, come in figura 1. Calcolare, nell’istante iniziale

  • l’accelerazione di m_2;
  • la forza di attrito agente su m_1.

In un certo istante successivo m_1 entra in moto. Calcolare in tale istante:

  • l’allungamento della molla;
  • la velocità di m_2.

Supporre mu_s\cos\theta-\sin\theta>0 e \left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta>0.

 

 

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Figura 1: sistema fisico in esame

 
 

Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano inerziale Oxy in corrispondenza del corpo di massa m_1, con l’asse delle x tangente al piano inclinato e l’asse delle y ad esso ortogonale, come illustrato in figura 2. Costruiamo il diagramma di corpo libero per le masse m_1 e m_2. Nella configurazione in cui la molla si trova nella posizione di riposo: sul corpo m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza di attrito statico \vec{f}_s, mentre sul corpo m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_2. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2.

 

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Figura 2: diagramma di corpo libero per m_1 e m_2.

Diagramma di corpo libero per i blocchi m1 e m2 su un piano inclinato, con forze indicate, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse delle x e delle y, per il corpo di massa m_2, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_2g\sin\theta=m_2a_2\\ y: N_2-m_2g\cos\theta=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: g\sin\theta=a_2\\ y: N_2=m_2g\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (1) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_2=g\sin\theta,}\]

cioè l’accelerazione del corpo m_2 nell’istante iniziale.


Svolgimento punto 2.

Per calcolare la forza di attrito statico agente sul corpo m_1 nell’istante iniziale, utilizziamo il secondo principio della dinamica proiettando le forze agenti su di esso lungo gli assi x ed y, ossia

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s=0\\ y: N_1-m_1g\cos\theta=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: m_1g\sin\theta=f_s\\ y: N_1=m_1g\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (2) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ f_s=m_1g\sin\theta,}\]

cioè la forza di attrito agente su m_1 nell’istante iniziale.


Svolgimento punto 3.

Nell’istante iniziale il corpo m_1 è in quiete, e il corpo m_2 ha una velocità di modulo v_0, e la molla è nella posizione di riposo; nell’istante immediatamente successivo il corpo m_2 continua a scendere e ciò provoca l’allungamento della molla. Pertanto su m_2 agisce una forza elastica \vec{F}_{\text{el}}, mentre su m_1 agisce la forza -\vec{F}_{\text{el}}. Il modulo della forza della molla è \left \vert \vec{F}_{\text{el}}\right \vert =k\Delta x, dove \Delta x rappresenta l’allungamento della molla. In figura 3 è rappresentato il diagramma di corpo libero del sistema in esame in questa nuova configurazione, in analogia a quanto già fatto al punto 2.

 

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Figura 3: diagramma di corpo libero

Diagramma di corpo libero che mostra le forze agenti sui blocchi m1 e m2 con l'allungamento della molla, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

In questa nuova configurazione il sistema (2) che descrive la dinamica del corpo m_1 diventa

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s+k\Delta x=0\\ y: N_1-m_1g\cos\theta=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s+k\Delta x=0\\ y: N_1=m_1g\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

dove abbiamo imposto che la somma delle forze agenti su corpo di massa m_1 lungo l’asse x è nulla perché il corpo m_1 è fermo. Chiaramente, progressivamente che il corpo m_2 scende lungo il piano inclinato la molla continua ad allungarsi e di conseguenza il modulo della forza elastica k \Delta x crescerà fino al punto di mettere in moto il corpo m_1, cioè la forza elastica raggiungerà un valore tale per cui la forza di attrito statico non sarà più in grado di tenere fermo m_1. Per calcolare quale sia il massimo allungamento della molla \Delta x_{\text{max}} per il quale il corpo m_1 entra in movimento, osserviamo che

(4)   \begin{equation*} f_s\leq f_{s,\text{max}}=\mu_s N_1=\mu_s m_1g\cos\theta, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’espressione di N_1 ottenuta dalla seconda equazione del sistema (3). Dalla precedente disequazione deduciamo che la forza di attrito statico massima è f_{s,\text{max}}=m_1g\cos\theta. Sostituendo f_{s,\text{max}}=m_1g\cos\theta all’interno della prima equazione del sistema (3), abbiamo che

(5)   \begin{equation*} m_1g\sin\theta -\mu_s m_1g\cos\theta+k\Delta x_{\text{max}}=0, \end{equation*}

dove \Delta x_{\text{max}} è l’allungamento massimo cercato. Dalla precedente equazione otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x_{\text{max}}=\dfrac{m_1g}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta).}\]


Svolgimento punto 4.

Per calcolare la velocità di m_2 nell’istante in cui m_1 si mette in moto possiamo utilizzare la conservazione dell’energia meccanica dato che su m_2 agiscono solo forze conservative: la forza della molla e la forza peso. Consideriamo come istante iniziale la configurazione per cui m_2 scende lungo il piano con velocità v_0 da una certa altezza rispetto alla quota raggiunta dal corpo nell’istante finale in cui la molla risulta allungata di \Delta x_{\text{max}}, e m_2 ha velocità di modulo v da determinare, come illustrato in figura 4.

 

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Figura 4: corpo \displaystyle m_{2} \nelle configurazioni iniziale e finali.

Corpo m2 nelle configurazioni iniziale e finale su un piano inclinato, con molla allungata, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Sia Oy il riferimento cartesiano inerziale con l’origine O in corrispondenza della quota alla quale si trova il corpo m_2 nell’istante finale, che definisce arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale. Nella configurazione iniziale l’energia meccanica E_{\text{i}} del corpo m_2, che si trova ad una quota h dall’origine O, è data dalla somma dell’energia cinetica K_{\text{i}} e di quella potenziale gravitazionale U_{\text{peso}}, ossia

(6)   \begin{equation*} E_{\text{i}}=K_{\text{i}}+U_{\text{peso}}=\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2gh=\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta. \end{equation*}

Nella configurazione finale l’energia meccanica E_{\text{f}} del corpo m_2 è data dalla somma dell’energia cinetica K_{\text{f}} e dall’energia potenziale elastica U_{\text{el}}, per cui

(7)   \begin{equation*} E_{\text{f}}=K_{\text{f}}+U_{\text{el}}=\dfrac{1}{2}m_2v^2+\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2. \end{equation*}

Si osservi che nell’equazione (6) non compare il contributo energetico dato dalla molla perché è nella posizione di riposo. Dalla conservazione dell’energia meccanica segue che

(8)   \begin{equation*} E_{\text{i}}=E_{\text{f}}, \end{equation*}

ovvero usando le equazioni (6) e (7),

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta=\dfrac{1}{2}m_2v^2+\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2 \quad\Leftrightarrow\quad m_2v^2=m_2v_{0}^2+2m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta-k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad v^2=v_{0}^2+2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta-\dfrac{k}{m_2}\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad v^2=v_{0}^2+\Delta x_{\text{max}}\left(2g\sin\theta-\dfrac{k}{m_2}\Delta x_{\text{max}}\right), \end{aligned}\]

e sostituendo il valore di \Delta x_{\text{max}} ottenuto al punto 3, si trova

    \[\begin{aligned} v^2&=v_{0}^2+\dfrac{m_1g}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(2g\sin\theta-g\dfrac{m_1}{m_2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\right)\\ &=v_{0}^2+\dfrac{m_1g^2}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)\\ &=v_{0}^2\left[1+\dfrac{m_1g^2}{kv_{0}^2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)\right], \end{aligned}\]

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=v_{0}\sqrt{1+\dfrac{m_1g^2}{kv_{0}^2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)}>0,}\]

cioè la velocità che il corpo m_2 possiede un’istante prima che m_1 entri in movimento.

 

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Esercizi di Meccanica classica

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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