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Lavoro ed energia: esercizio 28

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 28

Esercizio lavoro ed energia 28

L’esercizio 28 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 27 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 29. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 28

Esercizio 28 (\bigstar \bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m poggia su di un piano orizzontale ed è attaccato ad una molla ideale di costante elastica k. Inizialmente il corpo m ha velocità \vec{V}_0 e la molla è a riposo, come in figura 1. Tra la cassa e la superficie orizzontale di appoggio c’è attrito, con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente pari a \mu_s e \mu_d. Si determini la relazione che deve esistere tra il modulo V_0 della velocità della cassa e le grandezze m,k,\mu_s e \mu_d affinché la cassa rimanga ferma nella posizione corrispondente al massimo allungamento della molla.

 

 

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Svolgimento.

Si propongono due metodi differenti: il primo metodo prevede la risoluzione dell’equazione del moto del sistema a partire dalle leggi della dinamica, il secondo, invece, sfrutta il teorema delle forze vive.

Primo metodo.

Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano fisso con origine O, coincidente con la posizione iniziale della cassa, ed orientato come illustrato in figura 2.

 

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Diagramma di corpo libero per l'esercizio su lavoro ed energia, con le forze in gioco: forza elastica della molla, forza peso, reazione normale e forza di attrito mentre il corpo si muove.

 

La cassa, avendo una velocità iniziale di modulo pari a V_0, si allontana dalla posizione di equilibrio, allungando la molla, di una quantità x. Costruiamo il diagramma di corpo libero per la cassa come fatto in figura 2. Su di essa agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza di attrito dinamico (essendo la cassa in movimento) \vec{f_d} e la forza elastica -k\vec{x}. Tutte le forze succitate sono rappresentate in figura 2. Dalla seconda equazione della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d-kx=m\ddot{x}\\\\ y: N-mg=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: -f_d-kx=m\ddot{x}\\\\ y: N=mg. \end{cases} \end{equation*}

Ricordiamo che la forza di attrito dinamico è f_d=\mu_d N, otteniamo

(2)   \begin{equation*} f_d=\mu_d mg, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito l’espressione di N ottenuta dalla seconda equazione del sistema (1). Sostituendo l’espressione di f_d (ottenuta all’equazione (2)) nella prima equazione del sistema (1), si ha

(3)   \begin{equation*} -\mu_d mg-kx=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x+\mu_d g=0\quad\Leftrightarrow\quad\ddot{x}+\dfrac{k}{m}\left(x+\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)=0. \end{equation*}

Abbiamo scritto l’equazione del moto lungo l’asse orizzontale in maniera tale da poter definire la quantità y\equiv x+\dfrac{\mu_dmg}{k}, da cui

(4)   \begin{equation*} \dot{y}=\dot{x}, \end{equation*}

e

(5)   \begin{equation*} \ddot{y}=\ddot{x}. \end{equation*}

Sfruttando quanto ottenuto l’equazione (3) diventa

(6)   \begin{equation*} \ddot{y}+\dfrac{k}{m}y=0\quad\Leftrightarrow\quad\ddot{y}+\omega^2 y=0, \end{equation*}

che è l’equazione di un oscillatore armonico con pulsazione \omega^2\equiv\dfrac{k}{m}. La soluzione generale dell’equazione (6) è nota ed è pari ad

(7)   \begin{equation*} y(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

con A e \phi due parametri da determinare in base alle condizioni iniziali.

Ricordando che y=x+\dfrac{\mu_dmg}{k}, segue che la soluzione dell’equazione (7), scritta in termini della variabile x, diventa

(8)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{\mu_dmg}{k}+A\sin(\omega t+\phi). \end{equation*}

Per determinare i parametri A e \phi utilizziamo le condizioni iniziali del problema. La velocità della cassa al generico istante t è ottenuta derivando l’equazione (8) rispetto al tempo, ossia

(9)   \begin{equation*} \dot{x}(t)=\omega A\cos(\omega t+\phi). \end{equation*}

La cassa all’istante iniziale è nell’origine del sistema di riferimento, ed ha una velocità pari a V_0 in modulo, ossia

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} x(0)=0\\\\ \dot{x}(0)=V_0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -\dfrac{\mu_dmg}{k}+A\sin(\phi)=0\\\\ \omega A\cos(\phi)=V_0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} A\sin(\phi)=\dfrac{\mu_dmg}{k}\\\\ A\cos(\phi)=\dfrac{V_0}{\omega}. \end{cases} \end{equation*}

Elevando al quadrato entrambe le equazioni del sistema (10) e sommandole membro a membro, si trova

(11)   \begin{equation*} A^2(\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi))=\left(\dfrac{\mu_dmg}{k}\right)^2+\dfrac{V_0^2}{\omega^2}\quad\stackrel{\omega^2=k/m}{\Leftrightarrow}\quad A^2=\dfrac{1}{\omega^2}\left(\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2\right), \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} A=\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}. \end{equation*}

Per calcolare l’angolo di fase \phi, dividiamo ciascun membro della prima equazione del sistema (10) per i corrispondenti membri della seconda equazione, per cui

(13)   \begin{equation*} \tan(\phi)=\dfrac{\mu_dmg\omega}{kV_0}\quad\Rightarrow\quad\phi=\arctan\left(\dfrac{\mu_dmg\omega}{kV_0}\right)=\arctan\left(\dfrac{\mu_dg}{\omega V_0}\right)\\, \end{equation*}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato il fatto che k=m\omega^2. Ovviamente \cos \phi \neq 0 perché se \phi=\pm\dfrac{\pi}{2} vorrebbe dire che V_0=0 e questo andrebbe contro le condizioni iniziale del problema, in quanto la velocità iniziale non è vero. Se sostituiamo l’espressione dell’ampiezza A e della fase \phi, calcolate nelle equazioni (12) e (13), rispettivamente, nella legge oraria della cassa data dall’equazione (8), abbiamo che

(14)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{\mu_dg}{\omega^2}+\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}\sin\left(\omega t+\arctan\left(\dfrac{\mu_dg}{\omega V_0}\right)\right). \end{equation*}

È noto che

(15)   \begin{equation*} \text{max}\left\{\sin\left[\omega t+\arctan\left(\dfrac{\mu_dg}{\omega V_0}\right)\right]\right\}=1, \end{equation*}

pertanto

(16)   \begin{equation*} x_{\max}\equiv -\dfrac{\mu_dg}{\omega^2}+\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}. \end{equation*}

Raggiunta l’elongazione massima x_{max}, essendo un moto armonico, il corpo m si ferma. Pertanto scrivendo la seconda legge della dinamica in corrispondenza di questa configurazione (si veda il sistema (1)) si ha

(17)   \begin{equation*} \begin{cases} x: f_s-kx_{max}=0\\ y: N=mg, \end{cases} \end{equation*}

dove f_s rappresenta il modulo della forza di attrito statico, mentre kx_{max} il modulo della forza elastica in corrispondenza della massima elongazione. Ricordiamo che in generale la forza di attrito statico è tale che

(18)   \begin{equation*} f_s\leq \mu_s N. \end{equation*}

Dunque affinché il corpo m resti in equilibrio dinamico è necessario che

(19)   \begin{equation*} kx_{max}\leq \mu_s mg. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di x_{max}, calcolata nell’equazione (16), nella condizione data dall’equazione (19) si trova

(20)   \begin{equation*} k\left(-\dfrac{\mu_dmg}{k}+\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}\right)\leq\mu_smg\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{k}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}\leq mg\left(\mu_s+\mu_d\right). \end{equation*}

Il primo ed il secondo membro della disequazione (20) sono quantità positive (quindi possiamo elevare al quadrato ambo i membri), per cui elevando al quadrato ambo i membri della disequazione, si ottiene

    \[\begin{aligned} &\dfrac{k^2}{\omega^2}\left(\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2\right)\leq m^2g^2\left(\mu_s^2+\mu_d^2+ 2\mu_s\mu_d\right)\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{k^2}{\omega^4}\mu_d^2g^2+\dfrac{k^2}{\omega^2}V_0^2\leq m^2g^2\left(\mu_s^2+\mu_d^2+ 2\mu_s\mu_d\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{k^2}{m^2}\dfrac{m^2}{\omega^4}\mu_d^2g^2+\dfrac{k^2}{\omega^2}V_0^2\leq m^2g^2\left(\mu_s^2+\mu_d^2+ 2\mu_s\mu_d\right)\quad\Leftrightarrow\quad \omega^4\dfrac{m^2}{\omega^4}\mu_d^2g^2+\dfrac{k^2}{\omega^2}V_0^2\leq m^2g^2\left(\mu_s^2+\mu_d^2+ 2\mu_s\mu_d\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\\\ &\quad\Leftrightarrow\quad m^2\mu_d^2g^2+\dfrac{k^2}{\omega^2}V_0^2\leq m^2g^2\left(\mu_s^2+\mu_d^2+ 2\mu_s\mu_d\right)\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{k}{m}V_0^2\leq m^2g^2(\mu_s^2+2\mu_s\mu_d). \end{aligned}\]

Si conclude che la relazione cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{V_0\leq g\sqrt{\dfrac{m}{k}(\mu_s^2+2\mu_s\mu_d)}.}\]

 


Secondo metodo.

Applichiamo il teorema delle forze vive per determinare x_{\text{max}}. Per il teorema delle forze vive, si ha

(21)   \begin{equation*} 0-\dfrac{1}{2}mV_{0}^2=L_{attrito}+L_{molla}, \end{equation*}

dove abbiamo assunto che la velocità finale del corpo sia nulla in corrispondenza della massima elongazione, essendo un moto armonico; L_{attrito} è il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico e L_{molla} è il lavoro compiuto dalla molla nel tratto x_{max}. L’equazione (21) diventa

(22)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}kx_{max}^2-\mu_d mgx_{max}=-\dfrac{1}{2}mV_0^2\quad\Leftrightarrow\quad kx_{max}^2+2\mu_dmgx_{max}-mV_0^2=0. \end{equation*}

Risolvendo l’equazione di secondo grado (22) rispetto alla incognita x_{max} si ha

    \[\begin{aligned} x_{max}&=\dfrac{-\mu_dmg\pm\sqrt{\mu_d^2m^2g^2+mkV_0^2}}{k}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}\pm\sqrt{\dfrac{\mu_d^2m^2g^2+mkV_0^2}{k^2}}=\\\\ &=-\dfrac{\mu_dmg}{k}\pm\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^4}+\dfrac{V_0^2}{\omega^2}}\quad \Rightarrow\quad x_{max}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}+\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}, \end{aligned}\]

dove abbiamo preso la soluzione con il segno + perchè si deve determinare la massima elongazione rispetto alla posizione di equilibrio (vedi Approfondimento). Osserviamo che l’espressione di x_{max} appena ottenuta coincide con il risultato ottenuto all’equazione (16) nel primo metodo. Dopodiché il procedimento segue esattamente gli stessi passaggi visti già nel primo metodo.

 


Approfondimento.

Nella risoluzione del secondo metodo, abbiamo preso come soluzione dell’equazione (22) quella con il segno +. In virtù di questa scelta si ha

(23)   \begin{equation*} x_{max}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}+\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}+\tilde{x} \end{equation*}

e

(24)   \begin{equation*} x_{min}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}-\dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2}=-\dfrac{\mu_dmg}{k}-\tilde{x}, \end{equation*}

dove abbiamo posto \tilde{x}\eqqcolon \dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{\mu_d^2g^2}{\omega^2}+V_0^2} È immediato notare che \left|x_{max}\right|< \left|x_{min}\right|, e ciò sembrerebbe contraddire l’aver identificato x_{max} come la massima elongazione. Per ovviare a questo apparente paradosso, ricordiamo che in un moto armonico il corpo oscilla intorno alla posizione di equilibrio. Calcoliamo quindi la coordinata della posizione di equilibrio x_{eq}, imponendo

(25)   \begin{equation*} -kx_{eq}-\mu_d mg=0 \quad\Leftrightarrow\quad x_{eq}=-\dfrac{\mu_d mg}{k}. \end{equation*}

Quindi sostituendo il valore di x_{eq} appena ottenuto nelle espressioni di x_{max} e di x_{min} (equazioni (23) e (24)), si ha

(26)   \begin{equation*} x_{max}=x_{eq}+\tilde{x} \end{equation*}

e

(27)   \begin{equation*} x_{min}=x_{eq}-\tilde{x}. \end{equation*}

Quindi effettivamente x_{max} per come è stata definita rappresenta la massima elongazione della molla rispetto alla posizione di equilibrio x_{eq} mentre x_{min} ne rappresenta la sua massima compressione, come illustrato anche in figura 3.

 

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
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    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
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    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
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    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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