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Esercizio 27  (\bigstar \bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Due punti materiali con la stessa massa sono collegati da un filo, come in figura 1. Il piano inclinato forma un angolo \theta con il piano orizzontale ed è scabro, con coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Ad un certo istante, il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva che la massa sospesa ad un’altezza h rispetto al suolo comincia a scendere. Calcolare la distanza totale s percorsa dalla massa che si trova sul piano inclinato per arrestarsi. Si assuma il piano inclinato fisso.

 

 

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Svolgimento.

Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi i corpi, nel sistema in esame, come illustrato in figura 1.

 

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Due corpi A e B di massa rispettivamente m_A=m_B=m sono tali che sul corpo A agiscono la forza peso m_A\vec{g} e la tensione della fune \vec{T}_A, orientate come in figura 2. Sul corpo B agiscono la forza peso m_B\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la tensione della fune \vec{T}_B e la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 2. Possiamo risolvere il seguente problema in due modi perfettamente equivalenti: il primo metodo si basa sull’utilizzo del teorema delle forze vive per cui sarà di carattere energetico, il secondo metodo, invece, giunge alla soluzione attraverso l’utilizzo della seconda legge della dinamica.

 


Primo metodo.

Applicando il teorema delle forze vive tra l’istante di tempo in cui il corpo A, inizialmente in quiete (V_{i,A}=0) comincia a scendere (e di conseguenza il corpo B, anch’esso inizialmente in quiete V_{i,B}=0, comincia a salire lungo il piano inclinato), e l’istante in cui quest’ultimo raggiunge il suolo, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} L_{tot,A}=\dfrac{1}{2}m_{A}V_{A}^2\\\\ L_{tot,B}=\dfrac{1}{2}m_{B}V_{B}^2, \end{cases} \end{equation*}

dove L_{tot,A} e L_{tot,B} rappresentano il lavoro compiuto dalla forza risultante sul corpo A e B rispettivamente, mentre V_{A} e V_{B} sono le velocità dei due corpi nell’istante finale considerato.

 

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Nel caso del corpo A consideriamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oy, orientato come in figura 3(a). Lo spostamento del corpo A, tra i due istanti di tempo considerati è un vettore \vec{h}=h\,\hat{y} come rappresentato in figura 3(a), per cui

(2)   \begin{equation*} L_{tot,A}=L_{T_A}+m_A\vec{g}\cdot\vec{h}=L_{T_A}+m_{A}gh, \end{equation*}

dove L_{T_A} rappresenta il lavoro compiuto dalla tensione \vec{T}_A sul corpo m_A che per definizione è dato da

(3)   \begin{equation*} L_{T_A}\eqqcolon\int_{\Delta y=h}\vec{T}_A\cdot d\vec{\ell}=-\int_{\Delta y=h}(T_A\hat{y})\cdot(d\ell\,\hat{y})=-\int_{\Delta y=h}T_A d\ell. \end{equation*}

Nel caso del corpo B, consideriamo un sistema di riferimento cartesiano Oxy, orientato come in figura 3(\text{b}). Lo spostamento del corpo B tra i due istanti di tempo considerati è un vettore \vec{h'}=h\,\hat{x} come rappresentato in figura 3(\text{b}). Prima di calcolare il lavoro fatto dal risultante delle forze sul corpo B, determiniamo il vettore forza di attrito dinamico \vec{f}_d. Il modulo della forza di attrito dinamico f_d è dato da

(4)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N, \end{equation*}

dove N è il modulo della reazione vincolare. Dalla seconda equazione della dinamica in riferimento al corpo B, proiettando le forze sull’asse y (vedi figura 3(\text{b})) si ha

(5)   \begin{equation*} N-mg\cos(\theta)=0\quad\Leftrightarrow\quad N=mg\cos(\theta). \end{equation*}

Sostituendo il valore di N ottenuto nell’equazione (5) nell’espressione del modulo della forza di attrito dinamico, si ha che l’espressione del vettore \vec{f}_d è data da

(6)   \begin{equation*} \vec{f}_d=-\mu_d mg\cos(\theta)\,\hat{x}. \end{equation*}

In virtù di quanto detto abbiamo

(7)   \begin{equation*} L_{tot,B}=L_{T_B}+(m_B\vec{g}+\vec{f}_d)\cdot\vec{h}'=L_{T_B}+m_{B}gh\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)+f_{d}h\cos\pi=L_{T_B}-m_{B}gh\sin(\theta)-f_{d}h, \end{equation*}

dove abbiamo usato la relazione trigonometrica \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta, essendo \theta+\dfrac{\pi}{2} l’angolo tra la forza peso m_B\vec{g} ed il vettore \vec{h}'. Il termine L_{T_B} nell’equazione (7) rappresenta il lavoro compiuto dalla tensione \vec{T}_B sul corpo m_B che per definizione è dato da

(8)   \begin{equation*} L_{T_B}\eqqcolon\int_{\Delta y=h}\vec{T}_B\cdot d\vec{\ell}=\int_{\Delta y=h}(T_B\hat{x})\cdot(d\ell\,\hat{x})=\int_{\Delta y=h}T_B d\ell. \end{equation*}

Inserendo le espressioni ottenute nelle equazioni (2) e (7) nel sistema (1), si trova

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} L_{T_A}+m_{A}gh=\dfrac{1}{2}m_{A}V_{A}^2\\\\ L_{T_A}-m_{B}gh\sin(\theta)-f_{d}h=\dfrac{1}{2}m_{B}V_{B}^2. \end{cases} \end{equation*}

Dall’ipotesi del problema sappiamo i due corpi A e B hanno la stessa massa, per cui m_A=m_B\equiv m. Inoltre, poiché il filo è privo di massa e non c’è attrito tra di esso e la carrucola, le tensioni che agiscono sui due corpi sono uguali in modulo, ossia T_A=T_B\eqqcolon T. In virtù di ciò segue che, dalle equazioni (3) e (8),

(10)   \begin{equation*} L_{T_A}=-L_{T_B}\eqqcolon L_T. \end{equation*}

Infine, poiché il filo è inestensibile sappiamo che i due corpi avranno la stessa velocità finale, ossia V_A=V_B\eqqcolon V. Alla luce di quanto discusso, il sistema (9) diventa

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} L_{T}+mgh=\dfrac{1}{2}mV^2\\\\ -L_{T}-mgh\sin(\theta)-f_{d}h=\dfrac{1}{2}mV^2. \end{cases} \end{equation*}

Sommando membro a membro le due equazioni del sistema (11), si giunge a

(12)   \begin{equation*} mV^2=mh\left(g-g\sin(\theta)-\dfrac{f_d}{m}\right)=\quad\Leftrightarrow\quad V^2=h\left(g-g\sin(\theta)-\dfrac{f_d}{m}\right). \end{equation*}

Nell’equazione (12) è presente la massa m che non è un dato noto del problema. Per eliminare la dipendenza da m è necessario esplicitare il modulo della forza di attrito f_d. Sostituendo l’espressione di f_{d} ottenuta all’equazione (6), nell’equazione (12), si ottiene

(13)   \begin{equation*} V^2=gh(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta))\quad\Leftrightarrow\quad V=\sqrt{gh(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta))}. \end{equation*}

Ricordiamo che V rappresenta la velocità con la quale il corpo A impatta il suolo ma allo stesso tempo corrisponde alla velocità del corpo B dopo aver percorso, in salita, un tratto h lungo il piano inclinato. Affinché l’equazione (13) sia fisicamente sensata è necessario che venga soddisfatta la seguente relazione

(14)   \begin{equation*} 1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)> 0. \end{equation*}

Dopo che il corpo A ha raggiunto il suolo, il corpo B, che avrà già percorso un tratto h lungo il piano inclinato, avrà una velocità V_{i}=V. Supponiamo che esso percorri un tratto d lungo il piano inclinato dopo che il corpo A ha impattato il suolo, prima di arrestarsi su di esso (V_f=0). Applicando nuovamente il teorema delle forze vive tra i due nuovi istanti di tempo considerati e procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza, si ha che

(15)   \begin{equation*} (\vec{f}_d+m\vec{g})\cdot\vec{d}=\dfrac{1}{2}mV_{f}^2-\dfrac{1}{2}mV_{i}^2, \end{equation*}

dove \vec{d}=d\,\hat{x}. Svolgendo i prodotti scalari nell’equazione (15) e ricordando che V_i=V e V_f=0, otteniamo

(16)   \begin{equation*} -f_{d}d-mgd\sin(\theta)=-\dfrac{1}{2}mV^2. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di f_d e di V ottenute rispettivamente nelle equazioni (6) e (13), troviamo

(17)   \begin{equation*} -\mu_d mgd\cos(\theta)-mgd\sin(\theta)=-\dfrac{1}{2}mgh\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right)\quad\Leftrightarrow\quad d(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta))=\dfrac{h}{2}\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right), \end{equation*}

da cui

(18)   \begin{equation*} d=\dfrac{h\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right)}{2\left(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)\right)} \end{equation*}

Quindi lo spazio totale percorso dal corpo B lungo il piano inclinato sarà

(19)   \begin{equation*} s=h+d, \end{equation*}

da cui, sostituendo l’espressione di d ottenuta nell’equazione (18), si ha che

    \[\boxcolorato{fisica}{ s=h\left(1+\dfrac{1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)}{2\left(\mu_d \cos(\theta)+\sin(\theta)\right)}\right).}\]

Osserviamo che affinché il risultato appena ottenuto sia matematicamente ben definito deve valere la seguente condizione

(20)   \begin{equation*} \mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)\neq 0, \end{equation*}

che è sempre verificata in quanto per costruzione 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}.

 


Secondo metodo.

Scriviamo la seconda equazione della dinamica per i corpi A e B, cioè

(21)   \begin{equation*} \begin{cases} A: m\vec{g}+\vec{T}_A=m\vec{a}_{A}\\\\ B: m\vec{g}+\vec{T}_B+\vec{f}_d+\vec{N}=m\vec{a}_B. \end{cases} \end{equation*}

Ricordiamo che essendo il filo inestensibile i due corpi si muoveranno con la medesima accelerazione, ossia a_A=a_B\eqqcolon a. Inoltre, proiettando le forze lungo gli assi dei sistemi di riferimento opportunamente definiti per entrambi i corpi, come in figura 3, il sistema (21) si può riscrivere come (abbiamo sfruttato il fatto che T_A=T_B\eqqcolon T)

(22)   \begin{equation*} \begin{cases} A\,,y:\quad\quad mg-T=ma\\\\ B\,,x:\quad\quad T-mg\sin(\theta)-f_{d}=ma\\\\ B\,,y:\quad\quad N-mg\cos(\theta)=0. \end{cases} \end{equation*}

Sommando membro a membro le prime due equazioni del sistema (22), si trova

(23)   \begin{equation*} mg-mg\sin(\theta)-f_d=2ma\quad\Leftrightarrow\quad a=\dfrac{g}{2}\left(1-\sin(\theta)-\dfrac{f_d}{m}\right)=\dfrac{g}{2}\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right), \end{equation*}

dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito f_d=\mu_d mg\cos(\theta), determinata in (6). Quindi i due corpi compiono un moto uniformemente accelerato con accelerazione pari ad a fintantoché il corpo A non impatta con il terreno, percorrendo uno spazio pari ad h. Quindi il corpo B, dopo essere salito di un tratto h lungo il piano inclinato avrà una velocità pari a

(24)   \begin{equation*} V^2=2ah\quad\Leftrightarrow\quad V=\sqrt{2ah}=\sqrt{gh\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right)}, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che esso parte da fermo. Osserviamo che l’equazione (13) e l’equazione (24) sono equivalenti. A partire da questo momento, il corpo B sarà soggetto, lungo l’asse delle x alla sola forza di attrito \vec{f}_d ed alla componente parallela della forza peso mg\sin(\theta), entrambe dirette nel verso negativo dell’asse x, mentre la tensione \vec{T} del filo è nulla dal momento che il corpo A si trova al suolo e non esplica più nessuna forza sulla corda. In virtù di quanto detto, il moto del corpo B risulterà decelerato, poiché

(25)   \begin{equation*} -f_d-mg\sin(\theta)=m\tilde{a}\quad\Leftrightarrow\quad \tilde{a}=-g(\sin(\theta)+\mu_d\cos(\theta)), \end{equation*}

dove abbiamo sostituito l’espressione di f_d ottenuta nell’equazione (6). Dunque, una volta che il corpo A tocca il suolo, il corpo B compie un moto uniformemente decelerato con accelerazione \tilde{a}<0 data dall’equazione (25) e velocità iniziale V fino ad arrestarsi, dopo aver percorso un tratto d lungo il piano inclinato. Per calcolare il tratto d percorso dal corpo B, procediamo come fatto per l’equazione (24), in particolare

(26)   \begin{equation*} V_{f}^2=V_{i}^2+2\tilde{a}d, \end{equation*}

dove nel nostro caso V_f=0 e V_i=V, per cui

(27)   \begin{equation*} d=-\dfrac{V^2}{2\tilde{a}}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di V ed \tilde{a} ottenute rispettivamente nelle equazioni (24) e (25), nell’equazione (27), si ottiene

(28)   \begin{equation*} d=\dfrac{h\left(1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)\right)}{2\left(\mu_d cos(\theta)+\sin(\theta)\right)}, \end{equation*}

che coincide con il risultato ottenuto nell’equazione (18) del primo metodo. Quindi la distanza totale percorsa dal corpo B lungo il piano inclinato sarà

    \[\boxcolorato{fisica}{s=h+d=h\left(1+\dfrac{1-\sin(\theta)-\mu_d\cos(\theta)}{2\left(\mu_d cos(\theta)+\sin(\theta)\right)}\right),}\]

in accordo con quanto trovato col primo metodo.