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Esercizio 24  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una pallina di massa m si muove di moto circolare uniforme con periodo T su un piano orizzontale liscio; la pallina è collegata al centro della traiettoria da un filo elastico di costante elastica k e lunghezza di riposo \ell_0. Quanto vale l’energia meccanica della pallina?

 

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Svolgimento.

Ricordiamo che il modulo della velocità tangenziale \vec{v} di un corpo che si muove di moto circolare uniforme è legato alla sua velocità angolare \omega da

(1)   \begin{equation*} v=\omega r, \end{equation*}

dove \omega=\dfrac{2\pi}{T} e r rappresenta il raggio dell’orbita percorsa dal corpo. L’energia meccanica E del sistema in esame è data dalla somma del contributo cinetico K e quello elastico E_{molla}, ossia

(2)   \begin{equation*} E=K+E_{molla}=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(r-\ell_0)^2, \end{equation*}

dove r-\ell_0 rappresenta l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio. Utilizzando l’equazione (1), possiamo riscrivere l’energia meccanica come

(3)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2+\dfrac{1}{2}k(r-\ell_0)^2. \end{equation*}

L’unica incognita nell’espressione dell’energia meccanica del sistema ottenuta nell’equazione (3) è il raggio dell’orbita r. Per determinare r utilizziamo la seconda legge della dinamica per il corpo m. Applicando la seconda legge della dinamica nella direzione normale, abbiamo

(4)   \begin{equation*} F_{\text{molla}}=ma_C, \end{equation*}

dove a_C=\omega^2 r è l’accelerazione centripeta e F_{\text{molla}} =k(r-\ell_0) è la forza della molla. Abbiamo dunque

(5)   \begin{equation*} F_{\text{molla}}=ma_c\quad\Leftrightarrow\quad k(r-\ell_0)=m\omega^2r, \end{equation*}

da cui, ponendo k\neq m\omega^2 e risolvendo rispetto ad r, si ha

(6)   \begin{equation*} r=\dfrac{k\ell_0}{k-m\omega^2}. \end{equation*}

Affinché la relazione (6) abbia senso fisico deve valere k>m\omega^2 perché r è una distanza, e pertanto deve essere r>0. Sostituendo il valore di r, ottenuto nell’equazione (6), nell’equazione (3), si trova

(7)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}\dfrac{m\omega^2k^2\ell_0^2}{(k-m\omega^2)^2}+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{k\ell_0}{k-m\omega^2}-\ell_0\right)^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{m\omega^2k^2\ell_0^2}{(k-m\omega^2)^2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{k(m\omega^2\ell_0)^2}{(k-m\omega^2)^2}, \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} E=\dfrac{m\omega^2k\ell_0^2(k+m\omega^2)}{2(k-m\omega^2)^2}. \end{equation*}

Esplicitando \omega in termini del periodo T, ossia \omega=\dfrac{2\pi}{T}, l’equazione (8) diventa

(9)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\dfrac{k\ell_0^2\left(k+m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\right)}{\left(k-m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\right)^2}=\left(\dfrac{2\pi^2mk\ell_0^2}{T^2}\right)\dfrac{\left(kT^2+4\pi^2m\right)}{\left(kT^2-4\pi^2m\right)^2} T^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ E=\dfrac{2\pi^2mk\ell_0^2\left(kT^2+4\pi^2m\right)}{\left(kT^2-4\pi^2m\right)^2}.}\]

 


Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.