Home » Esercizio lavoro ed energia 24
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 24  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una pallina di massa m si muove di moto circolare uniforme con periodo T su un piano orizzontale liscio; la pallina è collegata al centro della traiettoria da un filo elastico di costante elastica k e lunghezza di riposo \ell_0. Quanto vale l’energia meccanica della pallina?

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento.  Ricordiamo che il modulo della velocità tangenziale \vec{v} di un corpo che si muove di moto circolare uniforme è legato alla sua velocità angolare \omega da

(1)   \begin{equation*} v=\omega r, \end{equation*}

dove \omega=\dfrac{2\pi}{T} e r rappresenta il raggio dell’orbita percorsa dal corpo.\bigbreak
L’energia meccanica E del sistema in esame è data dalla somma del contributo cinetico K e quello elastico E_{molla}, ossia

(2)   \begin{equation*} E=K+E_{molla}=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(r-\ell_0)^2, \end{equation*}

dove r-\ell_0 rappresenta l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio.
Utilizzando l’equazione (1), possiamo riscrivere l’energia meccanica come

(3)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2+\dfrac{1}{2}k(r-\ell_0)^2. \end{equation*}

L’unica incognita nell’espressione dell’energia meccanica del sistema ottenuta nell’equazione (3) è il raggio dell’orbita r.
Per determinare r utilizziamo la seconda legge della dinamica per il corpo m.
Applicando la seconda legge della dinamica nella direzione normale, abbiamo

(4)   \begin{equation*} F_{\text{molla}}=ma_C, \end{equation*}

dove a_C=\omega^2 r è l’accelerazione centripeta e F_{\text{molla}} =k(r-\ell_0) è la forza della molla. Abbiamo dunque

(5)   \begin{equation*} F_{\text{molla}}=ma_c\quad\Leftrightarrow\quad k(r-\ell_0)=m\omega^2r, \end{equation*}

da cui, ponendo k\neq m\omega^2 e risolvendo rispetto ad r, si ha

(6)   \begin{equation*} r=\dfrac{k\ell_0}{k-m\omega^2}. \end{equation*}

Affinché la relazione (6) abbia senso fisico deve valere k>m\omega^2 perché r è una distanza, e pertanto deve essere r>0.
Sostituendo il valore di r, ottenuto nell’equazione (6), nell’equazione (3), si trova

(7)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}\dfrac{m\omega^2k^2\ell_0^2}{(k-m\omega^2)^2}+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{k\ell_0}{k-m\omega^2}-\ell_0\right)^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{m\omega^2k^2\ell_0^2}{(k-m\omega^2)^2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{k(m\omega^2\ell_0)^2}{(k-m\omega^2)^2}, \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} E=\dfrac{m\omega^2k\ell_0^2(k+m\omega^2)}{2(k-m\omega^2)^2}. \end{equation*}

Esplicitando \omega in termini del periodo T, ossia \omega=\dfrac{2\pi}{T}, l’equazione (8) diventa

(9)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\dfrac{k\ell_0^2\left(k+m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\right)}{\left(k-m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)\right)^2}=\left(\dfrac{2\pi^2mk\ell_0^2}{T^2}\right)\dfrac{\left(kT^2+4\pi^2m\right)}{\left(kT^2-4\pi^2m\right)^2} T^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ E=\dfrac{2\pi^2mk\ell_0^2\left(kT^2+4\pi^2m\right)}{\left(kT^2-4\pi^2m\right)^2}.}\]

 

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.