Home » Esercizio lavoro ed energia 23
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Esercizio 23  (\bigstar \largewhitestar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale di costante elastica k, disposta su un piano orizzontale liscio, ha un’estremità fissata ad una parete ed è compressa di \delta. Si appoggia all’altra estremità della molla un corpo di massa m (si veda figura 1) e si taglia il filo che tiene compressa la molla.
In corrispondenza dell’istante in cui la lunghezza della molla è quella di riposo, si calcoli: il lavoro compiuto dalla molla sul corpo, la velocità di quest’ultimo ed il modulo dell’impulso complessivo esercitato dalla molla sul corpo in tale istante. Inoltre, si dimostri che il moto è armonico semplice.

 

 

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Svolgimento. In figura 2 rappresentiamo il sistema fisico in esame in due istanti di tempo diversi, ovvero quando la molla è compressa e quando la molla è nella posizione di riposo. Fissato un sistema di riferimento Ox con origine in corrispondenza dell’estremità fissa della molla, consideriamo:

  • l’istante iniziale, quello per cui la molla risulta essere compressa di una quantità \delta rispetto alla posizione di riposo che indichiamo con x_0 (si veda figura 2a);
  • l’istante finale, quello il cui la massa m ha raggiunto la posizione di equilibrio. Si assuma che in tale istante il corpo abbiamo velocità in modulo pari ad v_f (si veda figura 2b).

 

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Calcoliamo il lavoro compiuto dalla molla tra l’istante iniziale in cui viene tagliato il filo e in cui la molla raggiunge la posizione a riposo. Il lavoro è

(1)   \begin{equation*} L_{\text{molla}}=\dfrac{1}{2}k\left(\left(\Delta \ell_i\right)^2 _i-\left(\Delta \ell_f\right)^2\right), \end{equation*}

dove \Delta \ell _i è la compressione iniziale della molla e \Delta \ell _f è la compressione finale della molla rispettivamente nell’istante iniziale e quando la molla ha raggiunto la posizione a riposo. Nel caso analizzato abbiamo \Delta \ell _i=\delta e \Delta \ell _f=0, pertanto

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{\text{molla}}=\dfrac{1}{2}k\delta^2.}\]

 

Per calcolare la velocità del corpo m quando raggiunge la posizione a riposo, è sufficiente utilizzare la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante iniziale e finale. Infatti, non essendoci forse non conservative agenti su di m (ad esempio la forza di attrito dinamico è una forza non conservativa) si conserva l’energia meccanica. Per la conservazione dell’energia meccanica l’energia potenziale elastica è convertita integralmente in energia cinetica, ossia

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}k\delta^2=\dfrac{1}{2}mv_{f}^2, \end{equation*}

da cui, risolvendo rispetto alla velocità v_f, si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_f=\delta\sqrt{\dfrac{k}{m}}.}\]

 

Il modulo dell’impulso \vec{J} esercitato dalla molla sul corpo nell’istante in cui m raggiunge la posizione di riposo è dato dalla variazione della quantità di moto \Delta \vec{p}, tra gli istanti di tempo considerati. Il modulo dell’impulso è

(3)   \begin{equation*} J=\Delta p=mv_f-mv_i=mv_f, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito v_i=0 perché il corpo è inizialmente fermo.
Sostituendo nell’equazione (3) l’espressione di v_f (precedentemente ottenuta), si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ J=\delta\sqrt{mk}.}\]

 

Come si può dedurre dall’equazione (1) la velocità di m nell’istante in cui la molla ha raggiunto la posizione di riposa è massima. Questo fatto è una “classica” caratteristica di quando un corpo si muove di moto armonico semplice, infatti quando la molla è nella posizione di riposo la forza della molla in quell’istante risulta essere nulla che è equivalente a dire che l’accelerazione è nulla, da cui la velocità è massima. Infatti, applicando la seconda legge della dinamica su m, abbiamo

(4)   \begin{equation*} -kx=m\ddot{x}, \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} \ddot{x}+\dfrac{k}{m}x. \end{equation*}

Ponendo \omega^2=k/m si ottiene l’equazione di un moto armonico semplice, come si voleva dimostrare.