Esercizio lavoro ed energia 22

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 22 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Su un container inizialmente fermo agiscono tre forze di modulo pari a \vec{F}_1,\vec{F}_2 e \vec{F}_3 orientate come in figura 1. Calcolare il lavoro svolto dal risultante delle forze durante uno spostamento d del container. Esprimere il lavoro in funzione di, F_1, F_2, F_3, \theta_2, \theta_3, e d.

 

 

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Svolgimento. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy con origine O, in corrispondenza della posizione iniziale del container, come fatto in figura 2.

 

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Rispetto al sistema Oxy possiamo scomporre in componenti le tre forze agenti sul container, ossia

(1)   \begin{equation*} \vec{F}_1=-F_1\,\hat{x}, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \vec{F}_2=-F_2\sin(\theta_2)\,\hat{x}-F_2\cos(\theta_2)\,\hat{y}, \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \vec{F}_3=F_3\cos(\theta_3)\,\hat{x}+F_3\sin(\theta_3)\,\hat{y}. \end{equation*}

La risultante delle tre forze \vec{F}_t è

(4)   \begin{equation*} \vec{F}_t=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=(-F_1-F_2\sin(\theta_2)+F_3\cos(\theta_3))\,\hat{x}+(F_3\sin(\theta_3)-F_2\cos(\theta_2))\,\hat{y}, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato le espressioni ottenute in (1), (2) e (3).
Il lavoro svolto dal risultante \vec{F}_t, durante uno spostamento \vec{d} del container, è dato da

(5)   \begin{equation*} L=\vec{F}_t\cdot\vec{d}, \end{equation*}

essendo \vec{F}_t costante in modulo, direzione e verso, durante lo spostamento d.
Poiché il vettore spostamento del container \vec{d} ha la stessa direzione e verso del vettore risultante \vec{F}_t, allora l’equazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} L=F_td. \end{equation*}

Dall’equazione (4), si ha che il modulo al quadrato del vettore risultante è pari a

    \[\begin{aligned} F_t^2&=(-F_1-F_2\sin(\theta_2)+F_3\cos(\theta_3))^2+(F_3\sin(\theta_3)-F_2\cos(\theta_2))^2=\\ &=F_1^2+F_2^2\sin^2(\theta_2)+F_3^2\cos^2(\theta_3)+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)+\\ &-2F_2F_3\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)+F_3^2\sin^2(\theta_3)+F_2^2\cos^2(\theta_2)-2F_2F_3\sin(\theta_3)\cos(\theta_2)=\\ &=F_1^2+F_2^2\left(\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2\right)+F_3^2\left(\cos^2\theta_3+\sin^2\theta_3\right)+2F_1F_2\sin(\theta_2)-\\ &+2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3(\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)+\sin(\theta_3)\cos(\theta_2))=\\ &=F_1^2+F_2^2+F_3^2+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3\sin(\theta_2+\theta_3)\\ &=F_1^2+F_2^2+F_3^2+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3\sin(\theta_2+\theta_3), \end{aligned}\]

da cui

(7)   \begin{equation*} F_t=\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3\sin(\theta_2+\theta_3)}. \end{equation*}

Inserendo l’espressione di F_t, ottenuta nell’equazione (7), nell’equazione (6) si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{L=d\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3\sin(\theta_2+\theta_3)}.}\]

 

Si osservi che (7) ha senso, se e solo se, vale

(8)   \begin{equation*} F_1^2+F_2^2+F_3^2+2F_1F_2\sin(\theta_2)-2F_1F_3\cos(\theta_3)-2F_2F_3\sin(\theta_2+\theta_3)\geq 0. \end{equation*}

 

Fonte: David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Seconda edizione, Zanichelli.