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Lavoro ed energia: esercizio 21

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 21

Esercizio lavoro ed energia 21

L’esercizio 21 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 20 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 22. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 21

Esercizio 21 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un corpo viene lanciato con velocità \vec{V} nel punto A del tratto orizzontale \overline{AB} di lunghezza \ell, in modo che percorra tale tratto e poi il tratto \overline{BC}, di lunghezza uguale al precedente, inclinato di un angolo \theta rispetto all’orizzontale. Tra il corpo ed i due tratti succitati vi è attrito con coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Calcolare il modulo V della velocità del corpo, se quest’ultimo arriva in C con velocità nulla. Inoltre, supporre che la fine del piano inclinato si raccordi con il piano orizzontale in moto tale da far conservare l’energia del punto materiale m.

 

 

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Svolgimento.

Suddividiamo il problema in esame in due passi: il primo quando il corpo percorre il tratto orizzontale \overline{AB} ed il secondo quando quest’ultimo percorre il piano inclinato BC.

 


Primo passo.

In riferimento al tratto orizzontale, costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo in esame come fatto in figura 2, dove abbiamo definito un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy.

 

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Diagramma di corpo libero di un corpo su un piano orizzontale per esercizi di lavoro ed energia, con forze rappresentate: forza di attrito dinamico f_d verso sinistra, normale N verso l'alto, e peso mg verso il basso. Sistema di riferimento cartesiano con assi x e y indicato.

 

Lungo il tratto orizzontale, sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} diretti rispettivamente nel verso negativo e positivo dell’asse y, la forza di attrito \vec{f}_d nel verso negativo dell’asse x. Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ha che

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d=ma\\\\ y: N-mg=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_a=ma\\\\ y:N=mg. \end{cases} \end{equation*}

Ricordiamo che il modulo della forza di attrito dinamico è definito come

(2)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg, \end{equation*}

dove, nel secondo passaggio, abbiamo sostituito l’espressione di N ottenuta dalla seconda equazione del sistema (1). Applichiamo il teorema delle forze vive lungo il tratto orizzontale \overline{AB}, ossia

(3)   \begin{equation*} L_{A\rightarrow B}=\dfrac{1}{2}mV_B^2-\dfrac{1}{2}mV_A^2, \end{equation*}

dove L_{A\rightarrow B} è il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul corpo lungo il tratto orizzontale, mentre V_A e V_B rappresentano il modulo della velocità del corpo rispettivamente nei punti A e B. Lungo il tratto orizzontale, poiché il corpo si muove lungo l’asse delle x, il risultante delle forze agenti sul corpo coincide con \vec{f}_d, poiché la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} fanno lavoro nullo. Lo spostamento del corpo lungo il tratto \overline{AB} è il vettore \vec{\ell}=\ell\,\hat{x}. In virtù di quanto detto, si ha che

(4)   \begin{equation*} L_{A\rightarrow B}=\vec{f}_d\cdot\vec{\ell}=-\mu_d mg\,\hat{x}\cdot\ell\,\hat{x}=-\mu_d mg\ell, \end{equation*}

dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito l’espressione di \vec{f}_d ottenuta nell’equazione (2). Sostituendo l’espressione di L_{A\rightarrow B}, ottenuta all’equazione (4), nell’equazione (3), si ottiene

(5)   \begin{equation*} -\mu_d mg\ell=\dfrac{1}{2}mV_B^2-\dfrac{1}{2}mV^2, \end{equation*}

dove abbiamo posto V_A\equiv V (ossia la velocità iniziale del corpo).


Secondo passo.

In riferimento al tratto lungo il piano inclinato, costruiamo il diagramma di corpo libero come fatto in figura 3, dove abbiamo definito un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’asse Ox parallelo al piano inclinato e l’asse Oy ad esso ortogonale.

 

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Diagramma di corpo libero di un corpo su un piano inclinato per esercizi di lavoro ed energia, con forze rappresentate: forza di attrito dinamico f_d parallela al piano inclinato, normale N perpendicolare al piano inclinato, e peso mg diretto verso il basso. Sistema di riferimento cartesiano con assi x e y inclinati rispetto al piano orizzontale.

 

Lungo il piano inclinato agiscono le stesse forze del tratto orizzontale, ossia la forza peso m\vec{g}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_a e la reazione vincolare \vec{N} orientate come in figura 3.

Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ha che

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_a-mg\sin(\theta)=ma\\\\ y: N-mg\cos(\theta)=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_a-mg\sin(\theta)=ma\\\\ y:N=mg\cos(\theta). \end{cases} \end{equation*}

Applichiamo il teorema delle forze lungo il tratto orizzontale \overline{BC}, ossia

(7)   \begin{equation*} L_{B\rightarrow C}=\dfrac{1}{2}mV_C^2-\dfrac{1}{2}mV_B^2, \end{equation*}

dove L_{B\rightarrow C} è il lavoro compiuto dal risultante delle forze agenti sul corpo lungo il piano inclinato, mentre V_B e V_C rappresentano il modulo della velocità del corpo nel punto B e nel punto C rispettivamente. In questo caso, poiché il corpo si muove lungo il piano inclinato (ossia lungo l’asse delle x) il risultante delle forze agenti sul corpo è pari a -(f_a+mg\sin(\theta))\,\hat{x}; lo spostamento del corpo lungo il tratto \overline{BC} è il vettore \vec{\ell '}=\ell\,\hat{x}. Osserviamo, inoltre, che in questo caso la forza di attrito è

(8)   \begin{equation*} f_a=\mu_d N=\mu_d mg\cos(\theta), \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato la seconda equazione del sistema (6). In virtù di quanto detto si ha che

(9)   \begin{equation*} L_{B\rightarrow C}=-(f_a+mg\sin(\theta))\,\hat{x}\cdot\vec{\ell}=-(\mu_d mg\cos(\theta)+mg\sin(\theta))\,\hat{x}\cdot\ell\,\hat{x}=-mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)). \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L_{B\rightarrow C}, ottenuta all’equazione (9), nell’equazione (7), abbiamo che

(10)   \begin{equation*} -mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta))=-\dfrac{1}{2}mV_B^2 \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che il corpo si arresta nel punto C, ossia V_C=0. Una volta calcolato il lavoro fatto dalle forze risultanti in entrambi i tratti, sommando membro a membro delle equazioni (5) e (10), si trova

(11)   \begin{equation*} -\mu_d mg\ell-mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta))=-\dfrac{1}{2}mV^2\quad\Leftrightarrow\quad V^2=2g\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)+\mu_d). \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ V=\sqrt{2g\ell\left(\mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\right)}.}\]

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è fisicamente accettabile se vale la seguente condizione

(12)   \begin{equation*} \mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\geq 0, \end{equation*}

che è sempre verificata essendo \mu_d\geq 0, \cos(\theta)\geq 0 e \sin(\theta)\geq 0 per 0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}.

 


Approfondimento.

Osserviamo che nel caso in cui non ci sia attrito (\mu_d=0) si avrebbe

(13)   \begin{equation*} V=\sqrt{2g\ell\sin(\theta)}\leq \sqrt{2g\ell\left[\mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\right]}. \end{equation*}

Pertanto, se il piano è scabro, il corpo m va lanciato con una velocità in modulo più grande del caso senza attrito.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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