Esercizio lavoro ed energia 21

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 21 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un corpo viene lanciato con velocità \vec{V} nel punto A del tratto orizzontale \overline{AB} di lunghezza \ell, in modo che percorra tale tratto e poi il tratto \overline{BC}, di lunghezza uguale al precedente, inclinato di un angolo \theta rispetto all’orizzontale. Tra il corpo ed i due tratti succitati vi è attrito con coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Calcolare il modulo V della velocità del corpo, se quest’ultimo arriva in C con velocità nulla. Inoltre, supporre che la fine del piano inclinato si raccordi con il piano orizzontale in moto tale da far conservare l’energia del punto materiale m.

 

 

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Svolgimento. Suddividiamo il problema in esame in due passi: il primo quando il corpo percorre il tratto orizzontale \overline{AB} ed il secondo quando quest’ultimo percorre il piano inclinato BC.

 

Primo passo. In riferimento al tratto orizzontale, costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo in esame come fatto in figura 2, dove abbiamo definito un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy.

 

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Lungo il tratto orizzontale, sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} diretti rispettivamente nel verso negativo e positivo dell’asse y, la forza di attrito \vec{f}_d nel verso negativo dell’asse x.
Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ha che

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d=ma\\\\ y: N-mg=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_a=ma\\\\ y:N=mg. \end{cases} \end{equation*}

Ricordiamo che il modulo della forza di attrito dinamico è definito come

(2)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg, \end{equation*}

dove, nel secondo passaggio, abbiamo sostituito l’espressione di N ottenuta dalla seconda equazione del sistema (1).
Applichiamo il teorema delle forze vive lungo il tratto orizzontale \overline{AB}, ossia

(3)   \begin{equation*} L_{A\rightarrow B}=\dfrac{1}{2}mV_B^2-\dfrac{1}{2}mV_A^2, \end{equation*}

dove L_{A\rightarrow B} è il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul corpo lungo il tratto orizzontale, mentre V_A e V_B rappresentano il modulo della velocità del corpo rispettivamente nei punti A e B.
Lungo il tratto orizzontale, poiché il corpo si muove lungo l’asse delle x, il risultante delle forze agenti sul corpo coincide con \vec{f}_d, poiché la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} fanno lavoro nullo. Lo spostamento del corpo lungo il tratto \overline{AB} è il vettore \vec{\ell}=\ell\,\hat{x}.
In virtù di quanto detto, si ha che

(4)   \begin{equation*} L_{A\rightarrow B}=\vec{f}_d\cdot\vec{\ell}=-\mu_d mg\,\hat{x}\cdot\ell\,\hat{x}=-\mu_d mg\ell, \end{equation*}

dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito l’espressione di \vec{f}_d ottenuta nell’equazione (2).
Sostituendo l’espressione di L_{A\rightarrow B}, ottenuta all’equazione (4), nell’equazione (3), si ottiene

(5)   \begin{equation*} -\mu_d mg\ell=\dfrac{1}{2}mV_B^2-\dfrac{1}{2}mV^2, \end{equation*}

dove abbiamo posto V_A\equiv V (ossia la velocità iniziale del corpo).

Secondo passo. In riferimento al tratto lungo il piano inclinato, costruiamo il diagramma di corpo libero come fatto in figura 3, dove abbiamo definito un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’asse Ox parallelo al piano inclinato e l’asse Oy ad esso ortogonale.

 

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Lungo il piano inclinato agiscono le stesse forze del tratto orizzontale, ossia la forza peso m\vec{g}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_a e la reazione vincolare \vec{N} orientate come in figura 3.

Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ha che

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_a-mg\sin(\theta)=ma\\\\ y: N-mg\cos(\theta)=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:-f_a-mg\sin(\theta)=ma\\\\ y:N=mg\cos(\theta). \end{cases} \end{equation*}

Applichiamo il teorema delle forze lungo il tratto orizzontale \overline{BC}, ossia

(7)   \begin{equation*} L_{B\rightarrow C}=\dfrac{1}{2}mV_C^2-\dfrac{1}{2}mV_B^2, \end{equation*}

dove L_{B\rightarrow C} è il lavoro compiuto dal risultante delle forze agenti sul corpo lungo il piano inclinato, mentre V_B e V_C rappresentano il modulo della velocità del corpo nel punto B e nel punto C rispettivamente.
In questo caso, poiché il corpo si muove lungo il piano inclinato (ossia lungo l’asse delle x) il risultante delle forze agenti sul corpo è pari a -(f_a+mg\sin(\theta))\,\hat{x}; lo spostamento del corpo lungo il tratto \overline{BC} è il vettore \vec{\ell '}=\ell\,\hat{x}.
Osserviamo, inoltre, che in questo caso la forza di attrito è

(8)   \begin{equation*} f_a=\mu_d N=\mu_d mg\cos(\theta), \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato la seconda equazione del sistema (6).
In virtù di quanto detto si ha che

(9)   \begin{equation*} L_{B\rightarrow C}=-(f_a+mg\sin(\theta))\,\hat{x}\cdot\vec{\ell}=-(\mu_d mg\cos(\theta)+mg\sin(\theta))\,\hat{x}\cdot\ell\,\hat{x}=-mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)). \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L_{B\rightarrow C}, ottenuta all’equazione (9), nell’equazione (7), abbiamo che

(10)   \begin{equation*} -mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta))=-\dfrac{1}{2}mV_B^2 \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che il corpo si arresta nel punto C, ossia V_C=0.
Una volta calcolato il lavoro fatto dalle forze risultanti in entrambi i tratti, sommando membro a membro delle equazioni (5) e (10), si trova

(11)   \begin{equation*} -\mu_d mg\ell-mg\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta))=-\dfrac{1}{2}mV^2\quad\Leftrightarrow\quad V^2=2g\ell(\mu_d\cos(\theta)+\sin(\theta)+\mu_d). \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ V=\sqrt{2g\ell\left(\mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\right)}.}\]

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è fisicamente accettabile se vale la seguente condizione

(12)   \begin{equation*} \mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\geq 0, \end{equation*}

che è sempre verificata essendo \mu_d\geq 0, \cos(\theta)\geq 0 e \sin(\theta)\geq 0 per 0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}.

 

Approfondimento. Osserviamo che nel caso in cui non ci sia attrito (\mu_d=0) si avrebbe

(13)   \begin{equation*} V=\sqrt{2g\ell\sin(\theta)}\leq \sqrt{2g\ell\left[\mu_d(1+\cos(\theta))+\sin(\theta)\right]}. \end{equation*}

Pertanto, se il piano è scabro, il corpo m va lanciato con una velocità in modulo più grande del caso senza attrito.

 

Fonte: ignota.