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Lavoro ed energia: esercizio 20

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 20

Esercizio lavoro ed energia 20

L’esercizio 20 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 19 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 21. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 20

Esercizio 20 (\bigstar \bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale di costante elastica k si trova su di un piano orizzontale ad un’altezza h dal suolo. In un esperimento si spara una palla di massa m, comprimendo la molla di una quantità \Delta x_1 per colpire un bersaglio che si trova al suolo ad una distanza \Delta x_2 dalla base del piano orizzontale. Purtroppo, la sfera manca il bersaglio di una distanza pari ad \Delta x_3. Al secondo tentativo, qual’è la quantità \Delta x di cui deve essere compressa la molla affinché la sfera colpisca il bersaglio? Si richiede di esprimere \Delta x in funzione di \Delta x_1, \Delta x_2 e \Delta x_3.
Nota. Si consideri il sistema conservativo e la sfera puntiforme.

 

 

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Svolgimento.

In figura 2 rappresentiamo la situazione durante il secondo lancio. Inoltre, scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 2.

 

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Schematizzazione del sistema fisico durante il secondo lancio nel contesto di lavoro ed energia

 

Supponiamo che la molla venga compressa di una quantità \Delta x (da calcolare) in modo tale che la palla cada perfettamente in corrispondenza del bersaglio. Osserviamo che la palla, una volta lanciata, descriverà un moto parabolico, con velocità iniziale di modulo V_2 diretta lungo l’asse positivo delle x. Poiché non sono presenti forze di attrito, si conserva l’energia meccanica del sistema in ogni istante. Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante in cui la molla risulta compressa di una quantità \Delta x e l’istante in cui quest’ultima viene rilasciata. All’inizio l’energia meccanica del sistema E_{i} sarà esclusivamente elastica, ossia

(1)   \begin{equation*} E_{i}=\dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2; \end{equation*}

mentre, quando la molla verrà rilasciata, la sua energia elastica sarà convertita totalmente in energia cinetica. Nell’istante del rilascio la velocità della palla è V_2; per cui l’energia meccanica finale del sistema E_{f} vale

(2)   \begin{equation*} E_{f}=\dfrac{1}{2}mV_{2}^2. \end{equation*}

Dalla conservazione dell’energia meccanica tra i due istanti di tempo considerati, è possibile calcolare il modulo della velocità con la quale la palla viene lanciata dalla sommità del piano orizzontale, ovvero

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2=\dfrac{1}{2}mV_{2}^2\quad\Leftrightarrow\quad V_2=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Delta x, \end{equation*}

dove nel primo passaggio abbiamo sfruttato i risultati ottenuti nelle equazioni (1) e (2). Dopo di che, la palla cadrà nel vuoto, muovendosi di moto parabolico. La sua velocità iniziale è \overrightarrow{V}_2=V_2\,\hat{x}, partendo dalla sommità h del piano orizzontale. Le leggi orarie lungo gli assi x ed y, sono

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=V_2t\\ y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2, \end{cases} \end{equation*}

per t\geq 0. Esisterà un certo istante di tempo t^{\star} in corrispondenza del quale la palla impatterà il suolo, cioè y(t^{\star})=0. Dopo aver percorso un tratto orizzontale pari a x(t^{\star})=\Delta x_2 (ossia la palla colpisce il bersaglio), il sistema (4) può essere riscritto come

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t^{\star})=\Delta x_2=V_2t^{\star}\\ y(t^{\star})=0=h-\dfrac{1}{2}g(t^{\star})^2. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} t^{\star}=\dfrac{\Delta x_2}{V_2}\\\\ h=\dfrac{1}{2}g(t^{\star})^2. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo il tempo t^{\star} (definito nell’equazione (5)_1) nell’equazione (5)_2, si ha

(6)   \begin{equation*} h=\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{\Delta x_2}{V_2}\right)^2, \end{equation*}

da cui, sostituendo il valore di V_2 (calcolato nell’equazione (3)) nell’equazione (6), si ottiene

(7)   \begin{equation*} h=\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{\Delta x_2}{\Delta x}\right)^2\dfrac{m}{k}\quad\Leftrightarrow\quad \Delta x=\sqrt{\dfrac{mg}{2kh}}\Delta x_2. \end{equation*}

Osserviamo che nell’espressione di \Delta x, ricavata nell’equazione (7), è presente il fattore mg/(kh). Sappiamo che \Delta x deve essere espressa in funzione di \Delta x_1, \Delta x_2 e \Delta x_3. Pertanto dobbiamo esprimere il fattore mg/(kh) in funzione di \Delta x_1, \Delta x_2 e \Delta x_3. Nel primo lancio (vedi figura 3) la molla è compressa di una quantità \Delta x_1 ed, una volta rilasciata, la palla descriverà un moto parabolico con velocità iniziale \overrightarrow{V}_1=V_1\,\hat{x}.

 

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Schematizzazione del sistema fisico durante il primo lancio nel contesto di lavoro ed energia

 

Per calcolare il modulo V_1 della velocità con cui la palla viene lanciata dalla sommità del piano, procediamo come fatto in precedenza. In particolare, per la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante in cui la molla è compressa e l’istante in cui quest’ultima viene rilasciata, si ha

(8)   \begin{equation*} E_{i}=E_{f}\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}k(\Delta x_1)^2=\dfrac{1}{2}mV_{1}^2\quad\Leftrightarrow\quad V_1=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Delta x_1. \end{equation*}

Quindi, come prima, la palla descriverà una traiettoria parabolica con velocità iniziale \overrightarrow{V}_1=V_1\,\hat{x}, partendo dalla sommità h del piano orizzontale. Le leggi orarie del moto lungo l’asse x ed y, sono

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=V_1t\\ y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2. \end{cases} \end{equation*}

Sappiamo che al primo lancio la palla giunge a terra di una quantità \Delta x_3 prima del bersaglio, posto ad una distanza \Delta x_2 dall’origine O. Ciò si traduce dicendo che all’istante \tilde{t} in cui il corpo tocca il suolo (y(\tilde{t})=0) lo spazio orizzontale percorso dalla palla sarà x(\tilde{t})=\Delta x_2-\Delta x_3. In virtù di quanto detto, si ottiene

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} x(\tilde{t})=\Delta x_2-\Delta x_3=V_1\tilde{t}\\\\ y(\tilde{t})=0=h-\dfrac{1}{2}g\tilde{t}^2. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \tilde{t}=\dfrac{\Delta x_2-\Delta x_3}{V_1}\\\\ h=\dfrac{1}{2}g\tilde{t}^2. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo il tempo \tilde{t} ottenuto dalla prima equazione del sistema (10) nella seconda equazione del sistema, si trova

(11)   \begin{equation*} h=\dfrac{g}{2}\left(\dfrac{\Delta x_2-\Delta x_3}{V_1}\right)^2, \end{equation*}

da cui, sostituendo il valore di V_1 (calcolato nell’equazione (8)) in (11), otteniamo

(12)   \begin{equation*} h=\dfrac{gm}{2k}\left(\dfrac{\Delta x_2-\Delta x_3}{\Delta x_1}\right)^2. \end{equation*}

Rammentiamo che nell’espressione di \Delta x ottenuta nell’equazione (7), è presente il fattore \dfrac{m}{kh} che va espresso in funzione di \Delta x_1, \Delta x_2 e \Delta x_3. Pertanto, sfruttando l’equazione (12), si ha

(13)   \begin{equation*} \dfrac{m}{kh}=\dfrac{2}{g}\left(\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x_2-\Delta x_3}\right)^2. \end{equation*}

Sostituendo il risultato dell’equazione (13) nell’equazione (7), si giunge ad

(14)   \begin{equation*} \Delta x=\sqrt{\dfrac{g}{2}}\sqrt{\dfrac{2}{g}\left(\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x_2-\Delta x_3}\right)^2}\Delta x_2=\dfrac{\Delta x_1 \Delta x_2}{\Delta x_2-\Delta x_3}. \end{equation*}

Abbiamo dunque trovato la quantità \Delta x richiesta. Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta x=\dfrac{\Delta x_1 \Delta x_2}{\Delta x_2-\Delta x_3}.}\]

 


Osservazione.

È interessante notare che relazione esiste tra i tempi \tilde{t} e t^\star. Dalla prima equazione del sistema (10), sostituendo il valore di V_1 calcolato nell’equazione (8) si ha

(15)   \begin{equation*} \tilde{t}=\sqrt{\dfrac{m}{k}}\left(\dfrac{\Delta x_2-\Delta x_3}{\Delta x_1}\right). \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (5), sostituendo il valore di V_2 calcolato nell’equazione (3), si trova

(16)   \begin{equation*} t^\star=\sqrt{\dfrac{m}{k}}\dfrac{\Delta x_2}{\Delta x}, \end{equation*}

da cui, sostituendo il risultato ottenuto per \Delta x, si ottiene

(17)   \begin{equation*} t^\star=\sqrt{\dfrac{m}{k}}\left(\dfrac{\Delta x_2-\Delta x_3}{\Delta x_1}\right). \end{equation*}

Dai risultati ottenuti alle equazioni (15) e (17), deduciamo che in entrambi i tentativi la palla impiega lo stesso tempo per raggiungere il suolo.


 
 

Esercizi di Meccanica classica

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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