Esercizio lavoro ed energia 19

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 19 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m viene lasciato scivolare con velocità iniziale nulla dalla sommità di un piano inclinato scabro, avente altezza h, angolo di base \theta e coefficiente di attrito dinamico \mu_d (punto A). Alla fine del piano inclinato (punto B), il punto materiale percorre un tratto di lunghezza d su un piano orizzontale scabro, con lo stesso coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Giunto alla fine di tale tratto (punto C), il punto viene fermato in D da una molla di costante elastica k. Trascurando l’attrito radente dinamico nel tratto in cui agisce la forza della molla, calcolare:

  1. la velocità del punto in B;
  2. l’accelerazione nel tratto AB;
  3. la variazione della sua energia cinetica nel tratto BC;
  4. il massimo valore della compressione della molla.

Nota.  La fine del piano inclinato si raccorda con il piano orizzontale in moto tale da far conservare l’energia di P.

 

 

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Svolgimento punto 1. Per calcolare la velocità del corpo nel punto B possiamo sfruttare il fatto che il lavoro L_{\vec{f}_{d,1}} svolto dalla forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,1} lungo il tratto \overline{AB} è pari alla differenza di energia meccanica del punto materiale che possiede quando raggiunge il punto B e quando si trova in cima al piano inclinato nel punto A. Schematizziamo le due situazioni in figura 1, dove abbiamo definito un sistema di riferimento Oy tale per cui la quota dell’origine O rappresenta, arbitrariamente, lo zero dell’energia potenziale gravitazionale.

 

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Nella configurazione iniziale il punto materiale è in quiete posto ad un’altezza h rispetto al piano orizzontale, per cui

    \[\begin{aligned} &\text{Energia cinetica}: &K_i=0;\\ &\text{Energia potenziale gravitazionale}: &U_i=mgh, \end{aligned}\]

da cui l’energia meccanica iniziale E_i del sistema è pari a

(1)   \begin{equation*} E_i=K_i+U_i=mgh. \end{equation*}

Nella configurazione finale il punto materiale raggiunge il punto B, trovandosi allo stesso livello dello zero dell’energia potenziale gravitazionale, con una velocità di modulo V_B, per cui

    \[\begin{aligned} &\text{Energia cinetica}: &K_f=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2;\\ &\text{Energia potenziale gravitazionale}: &U_f=0, \end{aligned}\]

da cui, l’energia meccanica finale E_f del sistema, è pari a

(2)   \begin{equation*} E_f=K_f+U_f=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2. \end{equation*}

Per quanto detto precedentemente sappiamo che

(3)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=E_f-E_i, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (1) e (2), si ha

(4)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2-mgh. \end{equation*}

Per calcolare V_B è utile calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito lungo il tragitto \overline{AB}, che per definizione sappiamo essere

(5)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=\int_{A}^{B}\vec{f}_{d,1}\cdot d\vec{x}. \end{equation*}

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy , come in figura 2.

 

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Sul punto materiale agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,1}, orientate come in figura 2.
Applicando il secondo principio della dinamica al punto materiale e proiettando le forza lungo gli assi x ed y, otteniamo

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_{d,1}=ma_1\\\\ y:\quad -mg\cos(\theta)+N_1=0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_{d,1}=ma_1\\\\ y:\quad N_1=mg\cos(\theta). \end{cases} \end{equation*}

Il vettore forza di attrito dinamico è per definizione

(7)   \begin{equation*} \vec{f}_{d,1}=-\mu_d N_1\,\hat{x}=-\mu_d mg\cos(\theta)\,\hat{x}, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito il modulo della reazione vincolare N_1 (definito nella seconda equazione del sistema (6)).
Sostituendo f_{d,1} (definita nell’equazione (7)) nell’equazione (5) e sfruttando la relazione \hat{x}\cdot d\vec{x}=dx, si ha

(8)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=-\mu_d mg\cos(\theta)\overline{AB}=-\mu_d mg\cos(\theta)\left(\dfrac{h}{\sin(\theta)}\right)=-\mu_d mgh\cot(\theta). \end{equation*}

Sostituendo il valore di L_{\vec{f}_{d,1}} (definita nell’equazione (8)) nell’equazione (4), si ottiene

(9)   \begin{equation*} -\mu_d mgh\cot(\theta)=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2-mgh\quad\Leftrightarrow\quad gh(1-\mu_d\cot(\theta))=\dfrac{1}{2}V_{B}^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{B}=\sqrt{2gh(1-\mu_d\cot(\theta))}.}\]

La condizione di esistenza di V_B è

(10)   \begin{equation*} \mu_d\cot(\theta)<1. \end{equation*}

 

Svolgimento punto 2. Sostituendo N_1=mg\cos \theta (trovato dalla seconda equazione del sistema (6)) nella prima equazione del sistema (6), si ha

(11)   \begin{equation*} mg\sin(\theta)-mg\mu_d\cos \theta=ma_1, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} a_1=g\left(\sin(\theta)-\mu_d\cos \theta\right)=\text{costante}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_1=g\left(\sin(\theta)-\mu_d\cos \theta\right).}\]

 

Svolgimento punto 3. In questo punto chiameremo \vec{f}_{d,2} e \vec{N}_2 rispettivamente forza di attrito dinamico e reazione vincolare. Per calcolare la variazione \Delta \tilde{K} dell’energia cinetica del corpo nel tratto scabro di lunghezza \overline{BC}=d, possiamo applicare il teorema delle forze vive; per cui, il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico nel tratto \overline{BC}=d, è

(13)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,2}}=\Delta \tilde{K}. \end{equation*}

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy e costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo lungo il tratto \overline{BC}, come in Figura 4.

 

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Sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_2 dirette nel verso negativo e positivo dell’asse y rispettivamente; inoltre, sull’asse delle x agisce nel verso negativo la forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,2}, poiché il corpo si sta muovendo nel verso positivo dell’asse x. Tutte le forze sono rappresentate in figura 4.
Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze sugli assi x ed y, si ottiene

(14)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad -f_{d,2}=m\ddot{x}\\\\ y:\quad -mg+N_2=0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:\quad -f_{d,2}=m\ddot{x}\\\\ y:\quad N_2=mg. \end{cases} \end{equation*}

In questo caso la forza di attrito dinamico è

(15)   \begin{equation*} \vec{f}_{d,2}=-\mu_d N_2\hat{x}=-\mu_d mg\,\hat{x}, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’espressione della reazione vincolare N ottenuta dalla seconda equazione del sistema (14).
Quindi il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico è

(16)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,2}}=\int_{B}^{C}\vec{f}_{d,2}\cdot d \vec{x}=-\mu_d mg\int_{B}^{C}\hat{x}\cdot d\vec{x}=-\mu_d mg\overline{BC}=-\mu_d mgd, \end{equation*}

dove, come fatto in precedenza, abbiamo usato la relazione \hat{x}\cdot d\vec{x}=dx.
Sfruttando le equazioni (16) e (13), si giunge ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta K=-\mu_d mgd.}\]

 

Svolgimento punto 4. Nel tratto in cui la molla si comprime non è presente l’attrito dinamico, pertanto si conserva l’energia meccanica. L’energia cinetica con la quale il corpo impatta la molla (nel punto C) viene convertita in energia potenziale elastica (poiché il corpo viene fermato dalla molla), ossia

(17)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}k\Delta x_{max}=\dfrac{1}{2}mV_{C}^2\quad\Leftrightarrow\quad\Delta x_{max}=\sqrt{\dfrac{m}{k}}V_C, \end{equation*}

dove V_C rappresenta la velocità con la quale il punto materiale impatta la molla e \Delta x_{max} rappresenta la compressione massima della molla.
Per calcolare V_C utilizziamo la soluzione al punto c), ossia

(18)   \begin{equation*} \Delta K=-\mu_d mgd\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}mV_{C}^2-\dfrac{1}{2}mV_{B}^2=-\mu_d mgd\quad\Leftrightarrow\quad V_C=\sqrt{V_{B}^2-2\mu_d gd}. \end{equation*}

Sostituendo il valore di V_B in ottenuto come soluzione del punto a) in (18), si trova

(19)   \begin{equation*} V_C=\sqrt{2gh(1-\mu_d\cot(\theta))-2\mu_dgd}. \end{equation*}

Si osservi che la condizione di esistenza di V_C è

(20)   \begin{equation*} 2h(1-\mu_d\cot(\theta))-2\mu_d d>0. \end{equation*}

Inserendo il valore di V_C (ottenuto nell’equazione (19)) nella equazione (17), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x_{max}=\sqrt{\dfrac{m}{k}\left[2gh(1-\mu_d\cot(\theta))-\mu_dgd\right]}.}\]