Esercizio 18 .Un punto materiale
di massa
, inizialmente in quiete, viene lasciato scivolare lungo uno scivolo liscio costituito da un piano inclinato di un angolo
raccordato ad una guida orizzontale, posta alla quota
rispetto al suolo, come in figura 1. Calcolare:
- la velocità
che
deve possedere all’uscita dello scivolo (
) per colpire il bersaglio
, posto sul suolo ad una distanza
dalla fine dello scivolo;
- l’angolo di impatto
di
con il suolo;
- la quota
da cui bisogna lasciare
da fermo affinché esso colpisca il bersaglio;
- la quota
da cui bisognerebbe lasciare
da fermo se il piano inclinato fosse scabro, con coefficiente di attrito dinamico
, e la guida orizzontale liscia.
Nota. Il piano inclinato si raccorda con il piano orizzontale in modo tale da far conservare l’energia di .
Svolgimento punto 1.
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Ricordiamo che il moto parabolico è il risultato della composizione di due moti, cioè un moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle ed un moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle
. Le leggi orarie del moto sono
(1)
Si osservi che la velocità è diretta nel verso positivo delle
, pertanto la velocità iniziale del moto parabolico lungo l’asse delle
risulterà nulla. Chiamiamo
l’istante in cui il punto materiale impatta con il terreno, ossia l’istante di tempo tale per cui
. Affinché la velocità
sia tale da garantire al corpo
di colpire il bersaglio in
, distante
dall’origine del sistema di riferimento, deve valere che
(2)
Dalla seconda equazione del sistema (2), si ottiene
(3)
Sostituendo il valore di (definito nell’equazione (3)) nella prima equazione del sistema (2), otteniamo
(4)
cioè
Svolgimento punto 2.
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(5)
L’angolo di impatto (vedi figura 3), è dato dalla seguente relazione
(6)
(7)
dove è la velocità lungo l’asse delle
e
è la velocità lungo l’asse delle
, entrambe in un generico istante
.
Sostituendo
nel sistema (7), si ha
(8)
da cui
(9)
dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito il valore di ottenuto nell’equazione (3). Dall’espressione dell’angolo
data dall’equazione (6) segue che
(10)
Sostituendo l’espressione di , ottenuta dalla soluzione del punto a), troviamo che l’angolo di impatto è
Svolgimento punto 3.
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Consideriamo il sistema nella configurazione iniziale, in cui il corpo è posto in quiete in cima al piano inclinato ad una quota
rispetto alla guida orizzontale, per cui
- energia cinetica:
;
- energia potenziale gravitazionale:
Come configurazione finale consideriamo la situazione del corpo quando si trova sulla guida orizzontale e si muove su di essa con una velocità in modulo costante pari a
, per cui
- energia cinetica:
- energia potenziale gravitazionale:
Imponendo la conservazione dell’energia meccanica, si ha
(11)
(12)
Sostituendo il valore di (ottenuto nel punto a)) in (12), si trova
Svolgimento punto 4.
(13)
dove
ed
Si osservi che è stata presa l’energia potenziale nulla rispetto al piano orizzontale, come indicato in figura 5.
Cambiamo nuovamente sistema di riferimento. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano come in figura 5.
Osserviamo che sul corpo agiscono la forza peso
, la reazione vincolare
e la forza di attrito dinamico
. Tutte le forze sono rappresentate in figura 5. Applicando il secondo principio della dinamica su
e proiettando le forze lungo gli assi
ed
, si ha
(14)
Il vettore forza di attrito dinamico è per definizione
(15)
in cui abbiamo sostituito il modulo della reazione vincolare (definito nella seconda equazione del sistema (14)).
Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è pari a
(16)
dove rappresenta il punto di partenza del corpo sul piano inclinato e
coincide con la fine del piano inclinato, come in figura 5. In altri termini
è lo spazio percorso da
sul piano inclinato. Sostituendo l’espressione della forza di attrito dinamico
(definita nell’equazione (15)) nell’equazione (16) e sfruttando la relazione
[1], si ha
(17)
Sostituendo l’espressione del lavoro compiuto dalla forza di attrito (calcolato nell’equazione (17)) nell’equazione (13), si ottiene
(18)
cioè
(19)
(20)
Sostituendo il valore di ottenuto come soluzione del punto a) nell’equazione (20), si trova
Approfondimento.
![Rendered by QuickLaTeX.com 1-\mu_d\cot(\theta)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-795e8ecb042363b73672b03ae33313c5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mu_d\cot(\theta)=1](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c317d87b18a1ac32a59244b3b6b69d5_l3.png)
Pertanto, sotto la condizione , l’accelerazione sarebbe nulla, di conseguenza il punto materiale
si muoverebbe di moto rettilineo uniforme nella discesa lungo il piano inclinato.
Immaginiamo di avere un corpo di massa
in quiete sopra un piano inclinato, come in figura 6.
Le forze agenti sul punto materiale sono la forza di attrito statico
e la forza peso
. Per la seconda legge della dinamica si ha
(21)
Affinché il corpo rimanga in equilibrio deve valere
(22)
da cui, sfruttando le equazioni del sistema (21), si ottiene
(23)
(24)
Dall’equazione (24) si deduce che, affinché ci sia equilibrio, il coefficiente di attrito statico minimo sia . La condizione
è equivalente alla condizione
., da cui, deduciamo che
. Dunque, sotto tale condizione, se il corpo ha velocità iniziale nulla rimane fermo sul piano inclinato. Mentre, se il corpo ha una velocità iniziale diversa da zero, procede di moto rettilineo uniforme. Ad esempio, se scegliamo
e
, si ha
; da cui, se il corpo possiede una velocità iniziale diversa da zero procederà con una velocità costante nella discesa lungo il piano inclinato, altrimenti, se ha velocità nulla, rimarrà fermo. \\
Se
, dalla fisica del problema è chiaro che l’accelerazione è rivolta nel verso positivo delle
. Quindi
, da cui
. Si osservi che
è maggiore della quota
, infatti si ha
(25)
La condizione (25) è vera sempre poiché e per angoli
(come è per costruzione in un piano inclinato) si ha
. Il risultato trovato nell’equazione (25) è dovuto al fatto che, siccome è presente una forza di attrito, il corpo
deve partire da una quota più alta per avere un’energia potenziale gravitazionale maggiore, rispetto al caso senza attrito, per arrivare in
(vedi figura 1).
1. Perché . ↩