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Lavoro ed energia: esercizio 17

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 17

Esercizio lavoro ed energia 17

L’esercizio 17 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 16 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 18. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 17

Esercizio 17 (\bigstar \bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un corpo posto sul punto più alto di una calotta sferica fissa di raggio R=\text{2,50} \,\text{m} viene messo in moto con velocità v_0=\text{0,30} \,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. Se la calotta è liscia, calcolare:

(i) l’altezza rispetto al piano orizzontale in cui il blocco si stacca dalla calotta;

(ii) la distanza orizzontale percorsa una volta che il blocco ha lasciato la calotta;

(iii) la velocità finale \vec{v}_{f} del corpo quando tocca il suolo.

 

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Situazione iniziale con un blocco che scivola lungo una calotta sferica

Svolgimento punto (i).

Consideriamo il corpo mentre scende lungo la guida in un generico istante, come nella figura 2:

 

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Corpo in un punto generico della calotta e rappresentazione del sistema di riferimento

 

Si osservi che nel disegno è stato rappresentato l’angolo \theta, ovvero l’angolo che forma la congiungente tra il centro della calotta sferica e il punto materiale con in piano orizzontale. La calotta è fissata al suolo per cui bisogna studiare la dinamica e la cinematica soltanto del corpo in cima ad esso. Introduciamo un sistema di riferimento orientato come in figura 2 con versore tangente \hat{t} e versore normale \hat{n} alla guida della sfera. Applichiamo la seconda legge della dinamica al punto materiale m, ottenendo:

(1)   \begin{equation*} \vec{P}+\vec{N}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove le forze agenti sono la forza peso \vec{P} e la reazione vincolare con la calotta \vec{N}. Il vettore accelerazione \vec{a} nel sistema di riferimento scelto ha due componenti: una tangenziale al moto di modulo a_T e l’altra ad esso ortogonale (centripeta) di modulo a_C=\dfrac{v^2}{R}, in altri termini

(2)   \begin{equation*} \vec{a}=a_T\, \hat{t}-a_C\,\hat{n}. \end{equation*}

Si osservi che il segno meno, presente nella componente centripeta dell’accelerazione, è stato inserito per indicare che tale componente punta in direzione del centro della circonferenza. In figura 3 rappresentiamo le forze applicate ad m.

 

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Rappresentazione delle forze agenti sul corpo mentre scende lungo la calotta, esercizio di lavoro ed energia

 

Sostituendo \vec{a}, definito dalla (2), in (1), si ottiene:

(3)   \begin{equation*} ma_T\, \hat{t}-ma_c\,\hat{n}=m\vec{g}+N\,\hat{n}=mg\left(-\sin\theta\,\hat{n}+\cos\theta \,\hat{t}\right)+N\,\hat{n}=\left(N-mg\sin\theta\right)\hat{n}+mg\cos\theta \, \hat{t}, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \left(N-mg\sin\theta\right)\hat{n}+mg\cos\theta \, \hat{t}=-ma_c\,\hat{n}+ma_T\,\hat{t}=-m\dfrac{v^2}{R}\,\hat{n}+ma_T\,\hat{t}, \end{equation*}

o anche

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} N-mg \sin\theta=-m\dfrac{v^2}{R}\\\\ mg\cos\theta=ma_T \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} N-mg\sin\theta=-m\dfrac{v^2}{R}\\\\ mg\cos\theta=ma_T. \end{cases} \end{equation*}

La condizione di distacco è equivalente a richiedere che la reazione vincolare agente sul corpo sia nulla (per definizione, la reazione vincolare esiste quando tra due corpi c’è contatto). Dunque, sostituendo N=0 nella prima equazione del sistema (5), si ha che

(6)   \begin{equation*} g \sin\theta=\frac{v^2}{R}\quad\Leftrightarrow\quad \sin\theta=\frac{v^2}{gR}. \end{equation*}

Dalla geometria del problema si osserva il punto materiale nell’istante del distacco si trova ad un’altezza h=R\sin\theta={v^2}/{g}. Poiché la superficie è liscia e la forza peso che è conservativa e la forza \vec{N} compie lavoro nullo perché è perpendicolare istante per istante alla guida, si conserva l’energia. Fissato arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza del terreno, il corpo che inizialmente si trovava in cima ad un’altezza R dal terreno nel momento del distacco si trova ad un’altezza h (la nostra incognita) da quest’ultimo, per cui

(7)   \begin{equation*} mgR+\frac{1}{2}mv_0^2=mgh+\frac{1}{2}mv^2. \end{equation*}

In altri termini abbiamo imposto la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante in cui il corpo è fermo e quello in cui avviene il distacco. Dalla trigonometria (vedere figura 2) abbiamo che h=R\sin\theta, per cui l’equazione (7) diventa

(8)   \begin{equation*} gR+\frac{1}{2}v_0^2=gR\sin\theta+\frac{1}{2}v^2\quad\Leftrightarrow \quad v^2=2gR(1-\sin\theta)+v_0^2. \end{equation*}

Sostituendo il valore v^2, definito in (8), nella equazione (6), si ottiene:

(9)   \begin{equation*} \sin\theta=\frac{2gR}{gR}(1-\sin\theta)+\frac{v_0^2}{gR}\quad \Leftrightarrow \quad 3\sin\theta=2+\dfrac{v_0^2}{gR}\quad \Leftrightarrow \quad\sin\theta=\frac{2}{3}+\frac{v_0^2}{3gR} \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ h=R\sin\theta=\frac{2}{3}R+\frac{v_0^2}{3g}=\text{1,67} \,\text{m}.}\]

 


Svolgimento punto (ii).

Per prima cosa determiniamo i valori numerici dell’angolo \theta e la velocità v, perché ci serviranno successivamente; dall’equazione (9) si ricava

(10)   \begin{equation*} \theta=\arcsin\left(\frac{2}{3}+\frac{v_0^2}{3gR}\right)=\text{41,9}^{\circ} \end{equation*}

e dall’equazione (6) si trova

(11)   \begin{equation*} v=\sqrt{gR\sin\theta}=4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. \end{equation*}

Si osservi che dall’istante in cui il corpo lascia la semisfera procede di moto parabolico. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 4; il moto del proiettile è rettilineo uniforme lungo l’asse x e uniformemente accelerato lungo l’asse y, quindi le sue leggi orarie sono:

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} y=h+v_{i,y} t -\dfrac{1}{2}gt^2\\\\ x= v_{i,x}t \end{cases} \end{equation*}

dove v_{i,x} è la velocità iniziale l’ungo l’asse delle x e v_{i,y} lungo l’asse delle y avvenuto il distacco. Si osservi che per determinare le componenti della velocità iniziale \vec{v}=v_{i,x} \,\hat{x}+v_{i,y} \,\hat{y} del moto parabolico è utile notare che la velocità è tangente alla semisfera (vedere figura 4). Moto parabolico del corpo dopo che si è staccato dalla calotta

 

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Moto parabolico del corpo dopo che si è staccato dalla calotta, esercizio di lavoro ed energia

 

Dalla figura 4 si deduce che

(13)   \begin{equation*} v_{i,x}=v\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=v\sin\theta\quad \text{e}\quad v_{i,y}=-v\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-v \cos\theta \end{equation*}

dove il segno meno è dovuto alla scelta dell’orientamento del sistema di riferimento. Dunque, il sistema (12) diventa

(14)   \begin{equation*} \begin{cases} y(t)=h-v\cos\theta t -\dfrac{1}{2}gt^2\\\\ x(t)=v\sin\theta t. \end{cases} \end{equation*}

Imponendo y=0 si trova il tempo per percorre lo spazio orizzontale \overline{OP}, ovvero:

(15)   \begin{equation*} y=0 \quad\Leftrightarrow\quad h-v\cos\theta t -\frac{1}{2}gt^2=0 . \end{equation*}

Risolvendo l’equazione (15) rispetto al tempo e scartando la soluzione negativa, si ottiene:

(16)   \begin{equation*} t^\star=\frac{-v\cos\theta+\sqrt{v^2\cos^2\theta+2gh}}{g}\quad\Leftrightarrow\quad t^\star=\frac{v\cos\theta}{g}\left(\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\cos^2\theta}}-1\right). \end{equation*}

L’equazione (16) rappresenta il tempo che il proiettile impiega per raggiungere terra, per cui, inserendolo nell’espressione di x(t) del sistema (14), otteniamo la distanza orizzontale percorsa dal corpo, ossia

(17)   \begin{equation*} \overline{OP}=\frac{v^2\sin\theta\cos\theta }{g}\left(\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\cos^2\theta}}-1\right) =\frac{v^2\sin(2\theta)}{2g}\left(\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\cos^2\theta}}-1\right). \end{equation*}

Inoltre, sostituendo i valori numerici, si ottiene:

(18)   \begin{equation*} \overline{OP}=\dfrac{16\cdot\sin\left(84^\circ\right)}{2\cdot\text{9,81}}\left(\sqrt{1+\dfrac{2\cdot \text{9,81}\cdot\text{1,67} }{16\cdot \cos ^2\left(42^\circ\right)}}-1\right)\text{m}=\text{0,95 m}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \overline{OP}=\frac{v^2\sin(2\theta)}{2g}\left(\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\cos^2\theta}}-1\right)=\text{0,95 m}.}\]

 


Svolgimento punto (iii).

Per prima cosa determiniamo il valore numerico di t^\star, cioè

(19)   \begin{equation*} t^\star=\frac{v\cos\theta}{g}\left(\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\cos^2\theta}}-1\right)=\dfrac{4\cdot\cos\left(42^\circ\right)}{\text{9,81}}\left(\sqrt{1+\dfrac{2\cdot \text{9,81}\cdot\text{1,67} }{16\cdot \cos ^2\left(42^\circ\right)6}}-1\right)\text{s}=\text{0,35 s}, \end{equation*}

utile per i calcoli che verranno. Determiniamo le componenti x ed y della velocità al tempo t^\star. Sfruttando le note leggi della velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato e uniforme, si ha:

(20)   \begin{equation*} \begin{cases} v_y(t)=-v\sin\theta -g t\\ v_x(t)=v\cos \theta \end{cases} \end{equation*}

da cui, sostituendo t=t^\star, si ottiene

(21)   \begin{equation*} \begin{cases} v_y(t^\star)=-v\sin\theta -g t^\star\\ v_x(t^\star)=v\cos \theta \end{cases} \end{equation*}

cioè

(22)   \begin{equation*} \vec{v}(t^\star)=\vec{v}_f=v_x(t^\star)\,\hat{x}+v_y(t^\star)\,\hat{y}=v\cos \theta \,\hat{x}-(v\sin\theta +g t^\star)\hat{y}. \end{equation*}

Sostituendo i valori numerici, si ottiene:

(23)   \begin{equation*} \vec{v}_f=v\cos \theta \,\hat{x}-(v\sin\theta +g t^\star)\hat{y}=4\cdot\cos\left(42^\circ\right)\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{x}-\left(4\cdot \sin\left(42^\circ\right)+\text{9,81}\cdot\text{0,35 }\right)\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{y}, \end{equation*}

o anche

(24)   \begin{equation*} \vec{v}_f=3\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{x}-\text{6,11 m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{y}.. \end{equation*}

In figura 5 si rappresenta la velocità finale \vec{v}_f.

 

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Vettore velocità finale del corpo e sue componenti dopo aver toccato il suolo, esercizio di lavoro ed energia

 

Si conclude che:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{v}(t^\star)=v\cos \theta \,\hat{x}-(v\sin\theta +g t^\star)\hat{y}=3\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{x}-\text{6,11 m}\cdot \text{s}^{-1}\,\hat{y}..}\]

 


Fonte.

esercizio tratto da una traccia di esame di Fisica 1, ingegneria chimica, Università degli Studi di Salerno.

 
 

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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