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Esercizio lavoro ed energia 16

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 16

L’esercizio 16 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 15 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 17. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 16

Esercizio 16 (\bigstar \bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un giovane ragazzo è seduto sulla sommità di un blocco di ghiaccio a forma di semisfera, come mostrato nella figura 1. Dopo aver ricevuto una leggera spinta, inizia a scivolare verso il basso. Dimostrare che, se il ghiaccio è privo di attrito, egli si staccherà dal ghiaccio in un punto che si trova ad un’altezza di \dfrac{2}{3}R rispetto al suolo. Si consideri il blocco di ghiaccio fisso al suolo.

 

Lavoro ed energia: Un ragazzo seduto su un blocco di ghiaccio che scivola verso il basso
 

Figura 1: schema del problema.

Svolgimento.

Chiamiamo h la distanza tra il suolo e il punto di distacco. Dobbiamo dimostrare che h = \frac{2}{3}R.

Consideriamo un sistema di riferimento inerziale Otn con l’asse t tangente alla traiettoria del ragazzo e l’asse n perpendicolare all’asse t. Il sistema di riferimento è scelto tale per cui in un generico isante t>0, il ragazzo si trova sull’asse n, come mostrato nella figura 2. Utilizzando la seconda legge della dinamica lungo l’asse normale, possiamo scrivere:

    \[-mg \sin \theta + N = - m \dfrac{v^2}{R},\]

dunque

    \[-mg \sin \theta +N = - m \dfrac{v^2}{R}.\]

   

Lavoro ed energia: Diagramma con le forze agenti su un blocco di ghiaccio mentre un ragazzo scivola

   

Nel punto in cui avviene il distacco, la forza normale N è zero poiché non c’è più la reazione normale della superficie. Pertanto, possiamo scrivere

    \[ mg \sin \theta = m \dfrac{v_f^2}{R}, \]

da cui

(1)   \begin{equation*} v_f^2 = Rg \sin \theta. \end{equation*}

Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica, valido in questo caso poiché sono presenti solo forze conservative, abbiamo:

(2)   \begin{equation*} K_i + U_i = K_f + U_f, \end{equation*}

dove il pedice i indica lo stato iniziale, il pedice f lo stato finale, U l’energia potenziale (abbiamo posto l’energia potenziale nulla rispetto al livello del suolo.) e K l’energia cinetica. Poiché K_i = 0 e K_f = \frac{1}{2}mv_f^2, dall’equazione \eqref{ce} otteniamo:

(3)   \begin{equation*} mgR = \dfrac{1}{2}mv_f^2 + mgh. \end{equation*}

Mettendo a sistema \eqref{1} e \eqref{2} otteniamo

    \[\begin{cases} mgR = \dfrac{1}{2}mv_f^2 + mgh\\[10pt] v_f^2 = gR \sin \theta,\\[10pt] \end{cases}\]

conseguentemente

    \[1 = \dfrac{1}{2} \sin \theta +\sin \theta\quad \Leftrightarrow\quad \sin \theta = \dfrac{2}{3}.\]

Osserviamo dalla geometria del problema che h = R \sin \theta; di conseguenza dalla precedente equazione otteniamo:

    \[\boxcolorato{fisica}{ h = \dfrac{2}{3}R, }\]

come richiesto dal problema.

Fonte.

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli


 
 

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