Esercizio lavoro ed energia 15

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 15 $(\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa $m$ parte con velocità nulla dalla posizione $A$ e scende lungo un piano inclinato di $\theta$ , privo di attrito. Nella posizione $B$ il piano è raccordato a una guida circolare di centro $O$ e raggio $R$ , anch’essa priva di attrito. Il segmento $AB$ è tangente alla guida.
Si vuole che il punto si stacchi dalla guida in corrispondenza dell’angolo $\alpha$ (punto $C$ sulla guida). Si calcoli di quanto la quota di $A$ deve superare la quota di $B$ .

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Svolgimento. Il punto materiale parte da $A$ e scende lungo il piano inclinato fino a $B$ per poi proseguire lungo una traiettoria circolare centrata in $O$ , arrivando in $C$ con una velocità in modulo pari a $v_c$ (vedi figura 2).

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Durante il moto, il punto materiale è soggetto alla reazione vincolare generata dal contatto con la superficie di appoggio e alla sua forza peso. Raggiunto l’angolo $\alpha$ (cioè quando il punto si trova in $C$ ), il punto materiale si deve staccare dalla superficie per poi proseguire di moto parabolico, come richiesto dal problema. Per ottenere tale condizione, dobbiamo imporre che la reazione vincolare nel punto $C$ sia nulla. Scegliamo un sistema di riferimento che istante per istante abbia l’origine coincidente con il punto materiale, un asse tangente alla curva e uno normale ad essa. Scomponiamo le forze lungo l’asse normale. La situazione è rappresentata in figura 3.

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$\hat{t}$ è il versore che indica l’asse tangente alla guida e $\hat{n}$ è il versore che indica l’asse normale alla guida.
Applicando la seconda legge della dinamica e imponendo la condizione di distacco, ovvero che la reazione normale è nulla lungo l’asse normale, abbiamo

(1) $\begin{equation*} mg \sin\alpha = ma_c\quad \Leftrightarrow\quad g \sin\alpha = a_c , \end{equation*}$

dove $a_c$ è la componente normale dell’accelerazione, in modulo pari ad

$a_c=\dfrac{v^2}{\vert overrightarrow{OC} \vert }$

con $\vert overrightarrow{OC} \vert =R$ e il modulo della velocità $v$ . Dunque (1) diventa

(2) $\begin{equation*} g \sin\alpha = \dfrac{v^2}{R} \quad \Leftrightarrow \quad v^2=gR\sin\alpha. \end{equation*}$

Osserviamo che le superfici sono prive di attrito, quindi vale il principio di conservazione dell’energia meccanica, cioè

(3) $\begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f, \end{equation*}$

dove $K$ indica l’energia cinetica, $U$ l’energia potenziale ed i pedici $i$ ed $f$ significano rispettivamente iniziale e finale.
Scegliamo un sistema di riferimento $Oy$ orientato come in figura 4.

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\end{center}
Sia $y_f$ la distanza verticale tra la quota nulla e il punto di distacco.
Consideriamo come situazione iniziale ciò che accade nell’istante $t=0$ e come situazione finale ciò che accade quando il corpo sta per distaccarsi dalla guida, così che (3) sia

(4) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2-mgy_f=mgh\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}v^2-gy_f=gh . \end{equation*}$

Ora consideriamo la figura 5
\begin{center}

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Dalla geometria del problema si osserva che

(5) $\begin{equation*} y_f=R\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)-R\sin \alpha \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta. \end{equation*}$

Mettendo a sistema (5) e (6) si ha

$y_f=R\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)-R\sin \alpha =R\sin \left(\alpha + \beta \right)-R\sin \alpha$

e sostituendo il risultato appena ottenuto in (4) otteniamo

(7) $\begin{equation*} gh = \dfrac{1}{2}v^2 - g(R \sin(\alpha+\beta) - R\sin \alpha). \end{equation*}$

Ponendo a sistema (2) e (7) ricaviamo

(8) $\begin{equation*} h = \dfrac{1}{2}R \sin\alpha - (R \sin(\alpha+\beta)-R\sin\alpha). \end{equation*}$

Notando che $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}-\theta$ , si ha

(9) $\begin{equation*} \begin{aligned} h &= \dfrac{1}{2}R \sin\alpha - (R \sin(\alpha+\beta)-R\sin\alpha)=\\ &=\dfrac{R}{2}\sin\alpha-R\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)-R\sin\alpha\right)=\\ &=\dfrac{R}{2}\sin\alpha-R\left(\cos\alpha-R\sin\alpha\right)=\\ &=R\left(\dfrac{3}{2}\sin\alpha -\cos\theta\right), \end{aligned} \end{equation*}$