Esercizio lavoro ed energia 15

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 15 (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m parte con velocità nulla dalla posizione A e scende lungo un piano inclinato di \theta, privo di attrito. Nella posizione B il piano è raccordato a una guida circolare di centro O e raggio R, anch’essa priva di attrito. Il segmento AB è tangente alla guida.
Si vuole che il punto si stacchi dalla guida in corrispondenza dell’angolo \alpha (punto C sulla guida). Si calcoli di quanto la quota di A deve superare la quota di B.

 

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Svolgimento. Il punto materiale parte da A e scende lungo il piano inclinato fino a B per poi proseguire lungo una traiettoria circolare centrata in O, arrivando in C con una velocità in modulo pari a v_c (vedi figura 2).

 

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Durante il moto, il punto materiale è soggetto alla reazione vincolare generata dal contatto con la superficie di appoggio e alla sua forza peso. Raggiunto l’angolo \alpha (cioè quando il punto si trova in C), il punto materiale si deve staccare dalla superficie per poi proseguire di moto parabolico, come richiesto dal problema. Per ottenere tale condizione, dobbiamo imporre che la reazione vincolare nel punto C sia nulla. Scegliamo un sistema di riferimento che istante per istante abbia l’origine coincidente con il punto materiale, un asse tangente alla curva e uno normale ad essa. Scomponiamo le forze lungo l’asse normale. La situazione è rappresentata in figura 3.

 

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\hat{t} è il versore che indica l’asse tangente alla guida e \hat{n} è il versore che indica l’asse normale alla guida.
Applicando la seconda legge della dinamica e imponendo la condizione di distacco, ovvero che la reazione normale è nulla lungo l’asse normale, abbiamo

(1)   \begin{equation*} mg \sin\alpha = ma_c\quad \Leftrightarrow\quad g \sin\alpha = a_c , \end{equation*}

dove a_c è la componente normale dell’accelerazione, in modulo pari ad

    \[a_c=\dfrac{v^2}{\vert overrightarrow{OC} \vert }\]

con \vert overrightarrow{OC} \vert =R e il modulo della velocità v. Dunque (1) diventa

(2)   \begin{equation*} g \sin\alpha = \dfrac{v^2}{R} \quad \Leftrightarrow \quad v^2=gR\sin\alpha. \end{equation*}

Osserviamo che le superfici sono prive di attrito, quindi vale il principio di conservazione dell’energia meccanica, cioè

(3)   \begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f, \end{equation*}

dove K indica l’energia cinetica, U l’energia potenziale ed i pedici i ed f significano rispettivamente iniziale e finale.
Scegliamo un sistema di riferimento Oy orientato come in figura 4.

 

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\end{center}
Sia y_f la distanza verticale tra la quota nulla e il punto di distacco.
Consideriamo come situazione iniziale ciò che accade nell’istante t=0 e come situazione finale ciò che accade quando il corpo sta per distaccarsi dalla guida, così che (3) sia

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2-mgy_f=mgh\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}v^2-gy_f=gh . \end{equation*}

Ora consideriamo la figura 5
\begin{center}

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Dalla geometria del problema si osserva che

(5)   \begin{equation*} y_f=R\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)-R\sin \alpha \end{equation*}

e

(6)   \begin{equation*} \theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta. \end{equation*}

Mettendo a sistema (5) e (6) si ha

    \[y_f=R\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)-R\sin \alpha =R\sin \left(\alpha + \beta \right)-R\sin \alpha\]

e sostituendo il risultato appena ottenuto in (4) otteniamo

(7)   \begin{equation*} gh = \dfrac{1}{2}v^2 - g(R \sin(\alpha+\beta) - R\sin \alpha). \end{equation*}

Ponendo a sistema (2) e (7) ricaviamo

(8)   \begin{equation*} h = \dfrac{1}{2}R \sin\alpha - (R \sin(\alpha+\beta)-R\sin\alpha). \end{equation*}

Notando che \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}-\theta, si ha

(9)   \begin{equation*} \begin{aligned} h &= \dfrac{1}{2}R \sin\alpha - (R \sin(\alpha+\beta)-R\sin\alpha)=\\ &=\dfrac{R}{2}\sin\alpha-R\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)-R\sin\alpha\right)=\\ &=\dfrac{R}{2}\sin\alpha-R\left(\cos\alpha-R\sin\alpha\right)=\\ &=R\left(\dfrac{3}{2}\sin\alpha -\cos\theta\right), \end{aligned} \end{equation*}

che ha senso se

(10)   \begin{equation*} \dfrac{3}{2}\sin\alpha -\cos\theta\geq0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2}{3}\cos\theta\leq \sin\alpha. \end{equation*}

Quindi concludiamo che l’altezza cercata è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ h= R\left(\dfrac{3}{2}\sin\alpha -\cos\theta\right).}\]

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises.