Esercizio lavoro ed energia 14

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 14 (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di m, partendo da fermo, scivola per una distanza d giù per un piano privo di attrito inclinato di \theta, fino ad imbattersi in una molla. Il blocco continua a scivolare per \Delta x prima di essere momentaneamente arrestato dalla compressione della molla la cui costante è k.
Si richiedere di determinare il valore di d e la distanza fra il punto di primo contatto e il punto in cui il blocco raggiunge la velocità massima.

 

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Considerazioni. L’esercizio ci fornisce come dati: massa del corpo m, inclinazione del piano inclinato \theta, compressione della molla, dovuta all’urto del corpo, sino al suo arresto \Delta x, costante elastica della molla k e velocità iniziale del corpo v_0.

 

Svolgimento. Non essendoci forze d’attrito ed essendo tutte le forze in gioco (forza peso e forza elastica) forze conservative, possiamo sfruttare il teorema di conservazione dell’energia meccanicacome segue

    \[K_i + U_i = K_f + U_f,\]

dove il pedice i intende iniziale ed il pedice f intende finale, il simbolo U sta per energia potenziale ed infine K sta per energia cinetica.

Fissiamo lo zero del potenziale alla distanza \Delta x \; \sin \theta dall’estremo superiore della molla, come in figura, e consideriamo come “stato iniziale” quello in cui il corpo è fermo ad altezza (\Delta x + d) \; \sin \theta dal suolo, mentre consideriamo come “stato finale” quello in cui il corpo è fermo e la molla è
compressa di \Delta x.

 

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Rappresentiamo lo schema delle forze nell’istante in cui il blocco tocca la molla

 

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Scriviamo i singoli termini d’energia ricordando che l’energia potenziale della forza peso è mgh (con h distanza verticale da un punto fissato che lo zero dell’energia potenziale gravitazionale) e l’energia potenziale della forza elastica è \frac{1}{2} k x^2 con x elongazione della molla.

    \[\begin{aligned} & K_i =0;\\ & U_i = mg \left(\Delta x + d\right) \, \sin \theta;\\ & K_f =0;\\ & U_f = \frac{1}{2}k \, \Delta^2 x. \end{aligned}\]

Da cui d è dato da

    \[\boxcolorato{fisica}{ d = \dfrac{k \, \Delta^2 x-2mg\Delta x \sin \theta }{2mg \, \sin \theta}.}\]

 

Adesso rispondiamo alla seconda domanda. Quando il corpo urta la molla, esso possiede un’accelerazione di modulo g \, \sin \theta. Dopo il primo contatto con la molla esisterà un certo istante t^* tale che

    \[k\, \vert x \vert > mg \, \sin \theta,\]

da quell’istante in poi il corpo m decelera fino a fermarsi.
Dalla seconda legge della dinamica, abbiamo

    \[mg \, \sin \theta - kx = m \ddot{x}\]

e dividendo tutto per m abbiamo l’equazione di un oscillatore armonico

    \[\ddot{x} = - \left(-\dfrac{k}{m}\right)x + g \sin \theta.\]

La velocità è massima per \ddot{x}=0, per cui si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ x = \dfrac{mg \,\sin \theta}{k}=x_{\tiny\mbox{max}}.}\]

 

Fonte: David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Seconda edizione, Zanichelli.