Home » Esercizio lavoro ed energia 13
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Esercizio 13  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale con lunghezza a riposo \ell_0, può essere compressa di una quantità \Delta \ell da un’opportuna forza esterna F. Un blocco di massa m è inizialmente fermo in cima ad un piano inclinato privo di attrito, formante un angolo \theta con il piano orizzontale. Ad un certo punto viene lasciato libero di scorrere lungo il piano. Il blocco si arresta momentaneamente dopo aver compresso la molla di una quantità \Delta \tilde{\ell}.
Calcolare di quanto si è spostato il corpo m lungo il piano inclinato e qual è la sua velocità quando tocca la molla. Supporre che nell’urto tra la molla e il punto materiale m si conservi l’energia.

 

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Svolgimento. La prima cosa da fare nella risoluzione di questo problema è sfruttare l’informazione preliminare sulla caratteristica della molla. Essendo una molla ideale, essa obbedisce alla legge di Hooke, per cui se in seguito ad una forza F si comprime di \Delta \ell allora possiamo determinare la sua costante elastica k, ossia

(1)   \begin{equation*} F=k\Delta\ell\quad\Leftrightarrow\quad k=\dfrac{F}{\Delta\ell}. \end{equation*}

Poiché il sistema non presenta attriti dissipativi, la sua energia meccanica si conserva in ogni istante.
Consideriamo il sistema nella configurazione iniziale, supponendo che il blocco m si trovi ad una distanza L dall’estremità della molla a riposo, come illustrato in figura 1.
Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza della base del piano inclinato.
Poiché il corpo m è inizialmente fermo (energia cinetica nulla) e la molla è a riposo, l’energia meccanica del sistema nella configurazione iniziale è solo potenziale, ovvero vale

(2)   \begin{equation*} E_i=U_i=mg(L+\ell_{0})\sin\theta, \end{equation*}

dove la quantità (L+\ell_{0})\sin\theta rappresenta l’altezza del blocco rispetto al piano orizzontale.

 

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Consideriamo adesso la configurazione finale nella quale il corpo m scendendo lungo il piano inclinato, incontra la molla e la comprime di una quantità \Delta \tilde{\ell} arrestandosi momentaneamente, come illustrato in figura 2.

 

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Nella configurazione finale, l’energia cinetica del corpo m sarà ancora nulla poiché esso si arresta momentaneamente, ma poiché la molla viene compressa, nel computo dell’energia meccanica del sistema oltre all’energia potenziale gravitazionale contribuirà anche l’energia potenziale elastica, ossia

(3)   \begin{equation*} E_f=\underbrace{mg(\ell_0-\Delta \tilde{\ell})\sin\theta}_{\text{Energia potenziale gravitazionale}}+\underbrace{\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2}_{\text{Energia potenziale elastica}}, \end{equation*}

dove la quantità (\ell_0-\Delta\tilde{\ell})\sin\theta rappresenta l’altezza, rispetto al piano orizzontale, alla quale si arresta momentaneamente il corpo m.
Poiché l’energia meccanica si conserva si ha

(4)   \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

da cui, usando le eq.(2) e (3), segue che

(5)   \begin{equation*} mg(L+\ell_{0})\sin\theta=mg(\ell_{0}-\Delta\tilde{\ell})\sin\theta+\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2. \end{equation*}

Dall’eq.(5) l’unica incognita è L ossia la distanza iniziale del blocco m dall’estremità della molla, per cui

(6)   \begin{equation*} L=\dfrac{\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2-mg\Delta\tilde{\ell}\sin\theta}{mg\sin\theta}=\dfrac{k(\Delta\tilde{\ell})^2-2mg\Delta\tilde{\ell}\sin\theta}{2mg\sin\theta}=\dfrac{\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}{2mg\sin\theta}. \end{equation*}

Complessivamente il corpo m avrà percorso, lungo il piano inclinato, una distanza pari a S=L+\Delta \tilde{\ell}, cioè

(7)   \begin{equation*} S=L+\Delta \tilde{\ell}=\dfrac{\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)+2mg\Delta \tilde{\ell}\sin\theta}{2mg\sin\theta}=\dfrac{k(\Delta\tilde{\ell})^2}{2mg\sin\theta}=\dfrac{F(\Delta\tilde{\ell})^2}{2 mg\Delta\ell\sin\theta }. \end{equation*}

Si conclude che lo spazio S percorso da m prima di fermarsi è

    \[\boxcolorato{fisica}{ S=\dfrac{F(\Delta\tilde{\ell})^2}{2 mg\Delta\ell\sin\theta }.}\]

 

Per determinare la velocità del corpo un istante prima di toccare la molla consideriamo la configurazione del sistema appena il blocco m tocca la molla, come illustrato in figura 3.

 

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In questo caso l’energia totale del corpo m è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, mentre non abbiamo il contributo dell’energia potenziale elastica, poiché la molla a riposo. Detta \tilde{E} l’energia meccanica del sistema nella configurazione illustrata in fig.3, si ha che

(8)   \begin{equation*} \tilde{E}=\dfrac{1}{2}mV^2+mg\ell_{0}\sin\theta, \end{equation*}

dove la quantità \ell_{0}\sin\theta rappresenta l’altezza del corpo m appena tocca la molla e V è il modulo della velocità di m nell’istante in cui tocca la molla.
Dalla conservazione dell’energia tra il sistema nella configurazione iniziale (fig.1) ed il sistema quando il blocco ha appena toccato la molla (fig.3), si ottiene

(9)   \begin{equation*} mg(L+\ell_{0})\sin\theta=\dfrac{1}{2}mV^2+mg\ell_{0}\sin\theta, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} V=\sqrt{2gL\sin\theta}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L (definita nell’eq.(6) in (10), si ottiene

(11)   \begin{equation*} V=\sqrt{\dfrac{2g\sin\theta\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}{2mg\sin\theta}}=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}, \end{equation*}

Si conclude che la velocità che il corpo m ha un istante prima di impattare sulla molla è

    \[\boxcolorato{fisica}{ V=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}.}\]