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Esercizio 25  (\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar). Una palla di massa m viene appoggiata su un piano orizzontale liscio e attaccata ad una molla ideale e di costante elastica k, come in figura 1. Si assuma la molla attaccata ad un estremo fisso O e di lunghezza a riposo nulla. Scelto un sistema di riferimento fisso Oxy, posizionando la pallina in un generico punto (x_0,y_0) e imprimendo una velocità iniziale \vec{v}=v_{i,x}\, \hat{x}+v_{i,y}\, \hat{y} alla pallina, si determini sotto quale condizione il moto della pallina descrive un’ellisse centrata nell’origine con gli assi coincidenti con gli assi coordinati. Inoltre, applicando le coordinate polari si scrivano le equazioni del moto della pallina e si determini se la pallina possa descrivere un moto circolare uniforme.

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy e rappresentiamo il corpo di massa m soggetto alla forza della molla in una generica posizione (x,y), come in figura 2.

 

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Per la seconda legge della dinamica abbiamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} -kx=m\ddot{x}\\ -ky=m\ddot{y}. \end{cases} \end{equation*}

Entrambe le equazioni del sistema (1) sono le equazioni di due moti armonici semplici, pertanto le soluzioni di (1)_1 e (1)_2 sono rispettivamente

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=A\sin \left(\omega t +\phi\right)\\ y(t)=B\sin \left(\omega t +\gamma\right), \end{cases} \end{equation*}

dove \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, A e B sono costanti aventi unità di misura espressa in metri, e infine \phi e \gamma sono delle costanti adimensionali.Derivando ambo i membri delle due equazioni di (2), otteniamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t)=A\omega \cos \left(\omega t +\phi \right)\\ \dot{y}(t)=B\omega \cos \left(\omega t +\gamma \right). \end{cases} \end{equation*}

Imponiamo le condizioni iniziali

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x(0)=x_0\\ y(0)=y_0\\ \dot{x}(0)=v_{i,x}\\ \dot{y}(0)=v_{i,y}, \end{cases} \end{equation*}

da cui, sostituendo t=0 nelle equazioni (2)_1, (2)_2, (3)_1 e (3)_2, otteniamo

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} x(0)=x_0=A\sin \phi\\ y(0)=y_0=B \sin \gamma\\ \dot{x}(0)=v_{i,x}=A\omega \cos \phi \\ \dot{y}(0)=v_{i,y}=B\omega \cos \gamma . \end{cases} \end{equation*}

Dall’equazione (5)_1 e (5)_3, abbiamo

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} A\sin \phi =x_0\\[10 pt] A \cos \phi =\dfrac{v_{i,x}}{\omega}, \end{cases} \end{equation*}

da cui, elevando al quadrato ambo i membri delle due equazioni e sommando membro a membro, si ottiene

(7)   \begin{equation*} A=\sqrt{x_0^2+\dfrac{v_{i,x}^2}{\omega^2}}. \end{equation*}

Procedendo nello stesso modo per le equazioni (5)_2 e (5)_4, otteniamo

(8)   \begin{equation*} B=\sqrt{y_0^2+\dfrac{v_{i,y}^2}{\omega^2}}. \end{equation*}

Ricordiamo l’equazione generale di un’ellisse avente centro nell’origine con gli assi coincidenti con gli assi coordinati è

(9)   \begin{equation*} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1, \end{equation*}

dove a, b sono numeri reali positivi non nulli, che ha parametrizzazione in coordinate polari

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=a\cos \theta\\ y(t)=b\sin \theta,\ \end{cases} \end{equation*}

dove \theta \in [0,2\pi). Confrontando (10) e (2) deduciamo che

(11)   \begin{equation*} \phi+\dfrac{\pi}{2}=\gamma, \end{equation*}

dove

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} \phi =\arctan\left(\dfrac{x_0\omega}{v_{i,x}}\right)\\[15pt] \gamma =\arctan\left(\dfrac{y_0\omega}{v_{i,y}}\right). \end{cases} \end{equation*}

Abbiamo dunque

(13)   \begin{equation*} \arctan\left(\dfrac{x_0\omega}{v_{i,x}}\right)=\dfrac{\pi}{2}+\arctan\left(\dfrac{y_0\omega}{v_{i,y}}\right). \end{equation*}

Ricordando la relazione notevole valida per x>0

(14)   \begin{equation*} \arctan \theta +\arctan\left(\dfrac{1}{\theta}\right)=\dfrac{\pi}{2}, \end{equation*}

otteniamo

(15)   \begin{equation*} -\arctan\left(\dfrac{v_{i,x}}{x_0\omega}\right)=\arctan\left(\dfrac{y_0\omega}{v_{i,y}}\right), \end{equation*}

da cui, sfruttando il fatto che la funzione arcontagente è dispari, abbiamo

(16)   \begin{equation*} \arctan\left(-\dfrac{v_{i,x}}{x_0\omega}\right)=\arctan\left(\dfrac{y_0\omega}{v_{i,y}}\right), \end{equation*}

e infine, ricordando che l’arcotangente è una funzione monotona crescente, si ottiene

(17)   \begin{equation*} -\dfrac{v_{i,x}}{x_0\omega}=\dfrac{y_0\omega}{v_{i,y}}, \end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{-v_{i,x}v_{i,y}=x_0y_0\omega^2.}\]

 

Abbiamo dunque ottenuto la relazione richiesta, ad esempio, si può scegliere v_{i,x}=0, v_{i,x}=v_y(0), x_i=x(0) e y_0=0. Per il caso x<0 si può usare la relazione

(18)   \begin{equation*} \arctan x +\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{\pi}{2}, \end{equation*}

ottenendo una relazione simile.

L’accelerazione in coordinate polari è

(19)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\hat{r}+ \left(\dfrac{1}{r}\dfrac{d\left(r^2\dfrac{d\theta }{dt}\right)}{dt} \right)\hat{\theta}, \end{equation*}

dove r è la distanza di m dall’origine (nonché la lunghezza della molla), \theta è l’angolo che r forma con l’asse delle x, entrambi sono rappresentati nella figura 3; mentre \hat{\theta} e \hat{r} sono rispettivamente i versori nella direzione trasversa e radiale.

 

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Applicando la seconda legge della dinamica abbiamo

(20)   \begin{equation*} \begin{cases} m\dfrac{d^2r}{dt^2}-mr\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2=-kr\\[10pt] \dfrac{m}{r}\dfrac{d\left(r^2\dfrac{d\theta }{dt}\right)}{dt}=0. \end{cases} \end{equation*}

La seconda equazione del sistema (20) ci dice che

(21)   \begin{equation*} mr^2\dfrac{d\theta }{dt}=\text{costante}=L, \end{equation*}

ovvero che si conserva il momento angolare del sistema. Sostituiamo r=\text{costante}=R nella prima equazione del sistema (20), ottenendo

(22)   \begin{equation*} -mR\dot{\theta}^2=-kR, \end{equation*}

da cui

(23)   \begin{equation*} \dot{\theta}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. \end{equation*}

Abbiamo dimostrato che per r=\text{costante} la velocità angolare è costante, pertanto esiste un’orbita in cui il moto circolare è uniforme.

 


Osservazione.

In realtà il moto del corpo m è sempre un’ellisse. In questo esercizio abbiamo trattato solo il caso particolare di un ellisse con gli assi coordinati coincidenti con quelli del nostro sistema di riferimento. Si può dimostrare che l’equazione che descrive m ha equazione del tipo

(24)   \begin{equation*} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, \end{equation*}

dove a, b, c, d, e ed f sono coefficienti da determinare. L’equazione (24) rappresenta l’equazione generale di un’ellisse.