Esercizio lavoro ed energia 2

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 2 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un anellino di massa m è vincolato a scorrere lungo un’asta verticale in presenza di una forza di attrito costante \vec{F}_{a} ed è inizialmente fermo alla base dell’asta. A seguito dell’applicazione di un impulso \vec{J}, l’anellino viene lanciato verso l’alto, fino a raggiungere la quota h. Successivamente, ricade e arriva alla base dell’asta con velocità \vec{v}. Calcolare il modulo dell’impulso \vec{J}.
Eseguire i calcoli per: m=30\,\text{g}, h=3\,\text{m}, v=2\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

 

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Svolgimento. Fissiamo un sistema di riferimento fisso Oy con origine O posizionato nella base dell’asta e con l’asse y rivolto verso l’alto come illustrato in figura 1. Pertanto, l’energia potenziale gravitazionale è nulla in corrispondenza dell’origine del nostro sistema di riferimento.

 

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Sull’anellino agiscono la forza peso \vec{P} e la forza di attrito \vec{f}_{a} rivolte verso il basso.
Prima di cimentarci nei conti ricordiamo che l’impulso iniziale ha modulo pari J=mv_{i}, per cui per risolvere il problema è necessario calcolare la velocità iniziale del corpo.
A causa della presenza dell’attrito, l’energia meccanica del sistema non è conservata, ma ad ogni istante la sua variazione E_{fin}-E_{ini} è pari al lavoro fatto dalla forza di attrito L_{a}, ossia

(1)   \begin{equation*} L_{a}=E_{fin}-E_{ini}. \end{equation*}

L’equazione (1) è del tutto generale e vale sia nella fase di salita dell’anellino che in quella di discesa.
Poiché la forza di attrito \vec{f}_{a} è una forza costante il suo lavoro è pari a

(2)   \begin{equation*} L_{a}=f_{a}\Delta s \cos(\theta), \end{equation*}

dove \Delta s è lo spostamento del corpo considerato e \theta è l’angolo compreso tra il vettore \vec{f}_{a} ed il vettore spostamento \Delta \vec{s}.

Salita.

Durante la fase di salita del corpo il suo vettore spostamento \Delta\vec{s}=\vec{h}, orientato come in figura 1, ha la stessa direzione di \vec{f}_{a} ma verso opposto, per cui

(3)   \begin{equation*} L_{a}=f_{a}h\cos(\pi)=-f_{a}h. \end{equation*}

All’inizio il corpo si trova ad un’altezza nulla rispetto al riferimento O, con una velocità v_i per cui l’energia è solo cinetica, ovvero E_{ini}=\dfrac{1}{2}mv_{i}^2.
Quando l’anellino avrà raggiunto l’altezza massima y=h la sua velocità sarà nulla per cui E_{fin}=mgh.

Sfruttando l’equazione (1) in corrispondenza dell’istante iniziale e l’istante in cui l’anellino raggiunge la massima altezza, otteniamo

(4)   \begin{equation*} -f_{a}h=mgh-\dfrac{1}{2}mv_{i}^2. \end{equation*}

Discesa.

Durante la fase di discesa del corpo abbiamo ancora che L_{a}=-f_{a}h (vedi figura 2). Stavolta il corpo parte da fermo da un’altezza h con energia potenziale gravitazionale pari a E_{ini}=mgh, ed arriva alla base dell’asta con una velocità v per cui E_{fin}=\dfrac{1}{2}mv^2.

 

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Si osservi che nella fase di discesa la forza di attrito è rivolta nel verso opposto rispetto al verso in cui era rivolta nella fase di salita.
Quindi per la fase di discesa l’equazione (1) vale

(5)   \begin{equation*} -f_{a}h=\dfrac{1}{2}mv^{2}-mgh. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (5) con l’equazione (4) si ottiene

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} -f_{a}h=mgh-\dfrac{1}{2}mv_{i}^2,\\ -f_{a}h=\dfrac{1}{2}mv^{2}-mgh. \end{cases} \end{equation*}

Sottraendo membro a membro della prima e della seconda equazione del sistema, si ottiene

(7)   \begin{equation*} 2mgh=\dfrac{1}{2}m(v_{i}^2+v^2), \end{equation*}

da cui, si ottiene la velocità iniziale dell’anellino, cioè

(8)   \begin{equation*} v_{i}=\sqrt{4gh-v^2}. \end{equation*}

Nota la velocità iniziale del corpo possiamo calcolare il modulo dell’impulso

    \[\boxcolorato{fisica}{ J=mv_{i}=m\sqrt{4gh-v^2}=0,32\,\text{N}\cdot\,\text{s}.}\]

 

Fonte: esercizio numero 1 dell’esame di Fisica 1 del 24 Febbraio 2017 del corso di Fisica dell’Università di Roma Tor Vergata.