Esercizio lavoro ed energia 1

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 1 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale può muoversi all’interno di una guida circolare di raggio R liscia, vincolata nel punto A e di massa trascurabile posta in un piano verticale. Calcolare che velocità deve avere il punto materiale in A per restare in contatto con la guida in B.

 

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Svolgimento. Consideriamo il moto del punto materiale in un generico istante t (vedere figura), fissando un sistema di riferimento fisso Oxy con origine O centrata nel centro della guida circolare e un sistema di riferimento che istante per istante ha un asse tangente alla guida circolare e un’asse perpendicolare a tale guida. Per la geometria del problema, il raggio della circonferenza osculatrice è quello della guida circolare.
Introduciamo i versori \hat{n} e \hat{t}, indichiamo con \vec{N} la reazione vincolare generata dal contatto fra punto materiale e guida e con m\vec{g} la forza peso.

 

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Dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1)   \begin{equation*} \hat{n}: N - mg \, \cos \theta = m\dfrac{v^2}{R} \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} \hat{t}:- mg \sin \theta = m \,\ddot{\theta} R. \end{equation*}

Affinché il punto materiale rimanga in contatto con la guida, deve valere N\ge0 istante per istante.
Poniamo \theta = \pi e il valore limite N=0 e da (1) abbiamo

    \[v_B^2 = Rg \quad \Leftrightarrow \quad v_B = \sqrt{Rg},\]

dove v_B indica la velocità del punto materiale in B.

Indichiamo con v_A la velocità del punto materiale in A e dal momento che agiscono solo forze di natura conservativa, dalla conservazione dell’energia abbiamo:

    \[\\\]

    \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2}mv_B^2 +mg(2R)= \dfrac{1}{2}mv_A^2 \quad& \Leftrightarrow \quad v_B^2 - v_A^2 = -4gR \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\Leftrightarrow \quad v_A^2 = v_B^2 + 4gR \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \Leftrightarrow \quad v_A = \sqrt{gr + 4gR} = \sqrt{5gR}. \end{aligned}\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_A = \sqrt{5gR}.}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).