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Esercizio 3  (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una massa puntiforme m è inizialmente in quiete su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico \mu_s ed attrito dinamico \mu_d. Alla massa viene applicata all’istante t=0\,\text{s} una forza orizzontale con direzione e verso costanti ed il cui modulo varia nel tempo secondo la legge F=Kt. Si determinino:

(i) il tempo t_0 al quale m comincia a muoversi;

(ii) il lavoro totale compiuto dalle forze agenti su m dall’istante iniziale fino al tempo t=\tau.

Eseguire i calcoli per: \tau =10\,\text{s},\, m=1\,\text{kg},\, \mu_s=0,2,\, \mu_d=0,1,\, K=2\,\text{N}\cdot\text{s}^{-1}.

 

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Svolgimento punto (i).

Innanzitutto scegliamo un sistema di riferimento cartesiano Oxy fisso e costruiamo il diagramma di corpo libero come in figura 1. Sul corpo di massa m agiscono la forza \vec{F} e la forza di attrito statico (poiché il corpo è inizialmente fermo) \vec{f}_{a,s}.

 

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Ricordiamo che la forza di attrito statico è una forza che si oppone al moto del corpo ed istante per istante è uguale in modulo ad F(t) ma opposta in verso. Tuttavia, esiste un valore soglia oltre il quale la forza di attrito statico non è più in grado di controbilanciare la sollecitazione indotta da \vec{F}(t) ed in particolare

(1)   \begin{equation*} f_{a,s}\leq\mu_{s}N, \nonumber \end{equation*}

dove N=mg è il modulo della reazione vincolare causata dal contatto tra il corpo m ed il piano di appoggio. Definiamo f_{a,s,max}\equiv\mu_{s}N= mg\mu_{s}, per cui affinché il corpo m cominci a muoversi ad un istante di tempo t, la forza \vec{F} valutata in questo istante di tempo deve eccedere, in modulo, la forza di attrito statico massima \vec{f}_{a,s,max}, ossia

(2)   \begin{equation*} F(t)\geq f_{a,s,max}. \end{equation*}

In virtù di ciò, il corpo m comincerà a muoversi non appena la forza \vec{F} avrà eguagliato in modulo la forza di attrito statico, ossia

(3)   \begin{equation*} F(t_0)=f_{a,s,max}\quad \Leftrightarrow\quad Kt_0=mg\mu_{s}, \nonumber \end{equation*}

da cui otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_0=\frac{mg\mu_{s}}{K}=0,981\,\text{s}\simeq1\,\text{s}.}\]

 

 Di seguito riportiamo il grafico dell’evoluzione temporale del modulo di \vec{F}, dove sulle ascisse abbiamo il tempo e sulle ordinate il modulo della forza \vec{F}.

 

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Si osservi che l’intersezione tra la retta rossa e la retta blu rappresenta l’istante di tempo in cui il modulo della forza \vec{F} raggiunge il valore massimo della forza di attrito.

 


Svolgimento punto (ii).

Per calcolare il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo m ad un certo istante t=\tau si può determinare applicando il teorema delle forze vive. In particolare dal succitato teorema segue che il lavoro compiuto dal risultante delle forze che agisce sul corpo m vale

(4)   \begin{equation*} L=K_{fin}-K_{ini}, \end{equation*}

dove K_{fin} e K_{ini} rappresentano l’energia cinetica posseduta dal corpo rispettivamente al tempo t=\tau e al tempo iniziale t=0\,\text{s}. Poiché all’inizio il corpo è in quiete (v_{ini}=0) allora K_{ini}=0. Quindi l’equazione (4) diventa

(5)   \begin{equation*} L=\dfrac{1}{2}mv^2(\tau). \end{equation*}

Dobbiamo calcolare la velocità del corpo in corrispondenza del tempo t=\tau. Dalla cinematica sappiamo che

(6)   \begin{equation*} a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt} . \end{equation*}

Nel caso specifico, come visto, il corpo m è in quiete fino all’istante t_0 a partire dal quale comincia un moto accelerato. La velocità del corpo m all’istante di tempo t=\tau sarà data da

(7)   \begin{equation*} v(\tau)=\int^{\tau}_{t_0}\, a(t)\,dt. \end{equation*}

Bisogna calcolare l’espressione dell’accelerazione del corpo a partire dal tempo t=t_0. Usiamo lo stesso sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy di figura 1, e costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo m. Questa volta, poiché il corpo è già in moto, su di esso agirà (oltre alla solita forza \vec{F}) la forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,d}=-mg\mu_{d}\hat{v}, dove \hat{v} è il versore del vettore velocità \vec{v}(t) del corpo m (vedi figura 3), in altri termini la forza di attrito dinamico ha la stessa direzione del vettore velocità ma verso opposto.

 

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Dal II principio della dinamica segue che

(8)   \begin{equation*} ma(t)=F(t)-mg\mu_{d}=Kt-mg\mu_{d} \end{equation*}

da cui

(9)   \begin{equation*} a(t)=\dfrac{K}{m}t-g\mu_{d}. \end{equation*}

Inserendo l’equazione (9) nell’equazione (7) si ottiene

    \[\begin{aligned} v(\tau)=\int^{\tau}_{t_0} \left( \dfrac{K}{m}t-g\mu_{d}\right)dt&=\dfrac{K}{m}\int^{\tau}_{t_0}t\,dt-g\mu_{d}\int^{\tau}_{t_0} dt=\\ &=\dfrac{K}{m}\dfrac{t^2}{2}\biggr\rvert^{\tau}_{t_0}-g\mu_{d}t\biggr\rvert^{\tau}_{t_0}=\\ &=\dfrac{K}{2m}(\tau^2-t_0^2)-g\mu_{d}(\tau-t_0). \end{aligned}\]

Dunque, valutando t=\tau l’equazione (5) e sfruttando il valore v(\tau), ottenuto nella precedente relazione, otteniamo che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo m al tempo t=\tau vale

    \[\boxcolorato{fisica}{ L=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{K}{2m}(\tau^2-t_0^2)-g\mu_{d}(\tau-t_0)\right)^2=4065\,\text{J}.}\]

 


Fonte.

Fonte: esercizio numero 1 dell’esame di Fisica 1 del 24 Febbraio 2017 del corso di Fisica dell’Università di Roma Tor Vergata.

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