Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio lavoro ed energia 6

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 6

L’esercizio 6 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 5 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 7. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo esercizio lavoro ed energia 6

Esercizio 6 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un’autocisterna fuori controllo per un guasto ai freni sta salendo con una velocità V su di una rampa di emergenza priva di attrito, con inclinazione di \theta, come in figura. Quale deve essere la lunghezza minima L_{min} della rampa per esser certi che riesca ad arrestare la cisterna?

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Autocisterna fuori controllo su una rampa inclinata, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Per il seguente problema proponiamo due metodi di risoluzione diversi: il primo metodo si basa su considerazioni di carattere energetico e nel secondo si analizzano le forze applicate sul corpo m e successivamente si applica la seconda legge della dinamica.

Svolgimento 1.

Sull’autocisterna agisce la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}, come in figura 1. Osserviamo che si conserva l’energia del corpo m perché la forza peso è una forza conservativa e la reazione vincolare è perpendicolare istante per istante allo spostamento dell’autocisterna, pertanto il suo lavoro è nullo. Abbiamo dunque

(1)   \begin{equation*} K_{ini}+U_{ini}=K_{fin}+U_{fin}, \end{equation*}

dove K_{ini} e K_{fin} sono rispettivamente l’energia cinetica iniziale e finale dell’autocisterna, mentre U_{ini} ed U_{fin} le corrispondenti energie potenziali gravitazionali. Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza dell’inizio della rampa, come in figura 1. Inizialmente l’energia è solo cinetica, dato che il corpo m si trova in corrispondenza del livello dell’energia potenziale nulla, ovvero

(2)   \begin{equation*} K_{ini}=\dfrac{1}{2}mV^2. \end{equation*}

Dopo di che, l’autocisterna continuerà a muoversi lungo il piano inclinato fino a fermarsi. Pertanto, la condizione per percorrere lo spazio L_{min} è che l’autocisterna abbia energia cinetica finale nulla, cioè K_{fin}=0. Abbiamo dunque

    \[U_{fin}=mgL_{min}\sin \theta.\]

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma delle forze agenti su un'autocisterna su una rampa inclinata, con calcolo dell'energia potenziale

 

Quindi l’eq.(1) diventa

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mV^{2}=mgL_{min}\sin(\theta), \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{min}=\dfrac{V^2}{2g\sin(\theta)}.}\]

 


Svolgimento 2.

Alternativamente si poteva procedere applicando la seconda legge della dinamica. Nella soluzione precedente abbiamo già specificato quali forze agiscono sull’autocisterna nella fase di salita. Riportiamo in figura 2 il diagramma di corpo libero dell’autocisterna e definiamo un sistema di riferimento inerziale Oxy con l’asse x parallelo al piano inclinato e l’asse y ad esso perpendicolare.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma di corpo libero per un'autocisterna su un piano inclinato con vettori delle forze principali  

 

Proiettiamo le forze lungo gli x e y, ed applichiamo la seconda legge delle dinamica, ottenendo

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -mg\sin(\theta)=ma\\ y: N-mg\cos(\theta)=0. \end{cases} \end{equation*}

Dall’equazione lungo l’asse x ricaviamo che l’accelerazione dell’autocisterna lungo la rampa vale

(5)   \begin{equation*} a=-g\sin(\theta). \end{equation*}

Poiché l’accelerazione è negativa si deduce che il corpo decelera, come ci aspettavamo dalla fisica del problema. Ricordiamo che in un moto uniformemente accelerato vale quanto segue

(6)   \begin{equation*} v^2(x)=v_{0}^2+2a x, \end{equation*}

dove v_{0} è la velocità iniziale del corpo e x è lo spazio percorso. Applicando l’eq.(6) nel caso in esame abbiamo che

(7)   \begin{equation*} 0=V^2-2g\sin(\theta)L_{min}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{min}=\dfrac{V^2}{2g\sin(\theta)},}\]

come ottenuto in precedenza.

 


Link alla soluzione video a cura di Giovanni F.ciani.

clicca qui.

 
 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






    Document