Esercizio 6 . Un’autocisterna fuori controllo per un guasto ai freni sta salendo con una velocità
su di una rampa di emergenza priva di attrito, con inclinazione di
, come in figura. Quale deve essere la lunghezza minima
della rampa per esser certi che riesca ad arrestare la cisterna?
Per il seguente problema proponiamo due metodi di risoluzione diversi: il primo metodo si basa su considerazioni di carattere energetico e nel secondo si analizzano le forze applicate sul corpo e successivamente si applica la seconda legge della dinamica.
Svolgimento 1. Sull’autocisterna agisce la forza peso e la reazione vincolare
, come in figura 1. Osserviamo che si conserva l’energia del corpo
perché la forza peso è una forza conservativa e la reazione vincolare è perpendicolare istante per istante allo spostamento dell’autocisterna, pertanto il suo lavoro è nullo. Abbiamo dunque
(1)
dove e
sono rispettivamente l’energia cinetica iniziale e finale dell’autocisterna, mentre
ed
le corrispondenti energie potenziali gravitazionali.
Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza dell’inizio della rampa, come in figura 1. Inizialmente l’energia è solo cinetica, dato che il corpo si trova in corrispondenza del livello dell’energia potenziale nulla, ovvero
(2)
Dopo di che, l’autocisterna continuerà a muoversi lungo il piano inclinato fino a fermarsi. Pertanto, la condizione per percorrere lo spazio è che l’autocisterna abbia energia cinetica finale nulla, cioè
. Abbiamo dunque
Quindi l’eq.(1) diventa
(3)
da cui
Svolgimento 2. Alternativamente si poteva procedere applicando la seconda legge della dinamica. Nella soluzione precedente abbiamo già specificato quali forze agiscono sull’autocisterna nella fase di salita. Riportiamo in figura 2 il diagramma di corpo libero dell’autocisterna e definiamo un sistema di riferimento inerziale con l’asse
parallelo al piano inclinato e l’asse
ad esso perpendicolare.
Proiettiamo le forze lungo gli e
, ed applichiamo la seconda legge delle dinamica, ottenendo
(4)
Dall’equazione lungo l’asse ricaviamo che l’accelerazione dell’autocisterna lungo la rampa vale
(5)
Poiché l’accelerazione è negativa si deduce che il corpo decelera, come ci aspettavamo dalla fisica del problema. Ricordiamo che in un moto uniformemente accelerato vale quanto segue
(6)
dove è la velocità iniziale del corpo e
è lo spazio percorso. Applicando l’eq.(6) nel caso in esame abbiamo che
(7)
cioè
come ottenuto in precedenza.
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