Home » Esercizio lavoro ed energia 5
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Esercizio 5  (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una massa puntiforme m è vincolata a muoversi su un piano orizzontale. Ad essa è collegata una molla di massa trascurabile, avente costante elastica k e lunghezza a riposo \ell_{0} fissata ad una parete verticale come in figura. Inizialmente la molla è nella posizione di riposo; ad un certo punto per mezzo di un’opportuna forza esterna si sposta il corpo m di una quantità \Delta x rispetto alla parete verticale. Determinare l’energia potenziale di m in funzione dello spostamento \Delta x dalla parete e dimostrare che per piccole oscillazioni l’energia potenziale è proporzionale ad (\Delta x)^{4}.

 

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Svolgimento.  Fissiamo un sistema di riferimento fisso Oxy con origine O in corrispondenza della posizione iniziale del corpo m quando la molla è al riposo (ossia quando essa è in posizione verticale) e fissiamo lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza dell’asse x. Il corpo m è inizialmente nell’origine del sistema di riferimento scelto e successivamente con un’opportuna forza esterna il corpo m è spostato di una certa distanza orizzontale \Delta x rispetto all’origine O, per cui la molla risulterà avere una lunghezza pari ad \ell, come illustrato in figura 1.

 

 

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Sul corpo m agisce la forza peso m\vec{g} diretta nel verso negativo delle y, la reazione vincolare \vec{N} diretta nel verso positivo delle y e la forza elastica orientata come in figura 1.
L’energia potenziale del corpo m è in generale data dalla somma dell’energia potenziale elastica U_{el} e quella gravitazionale U_{g}, ossia

(1)   \begin{equation*} U=U_{el}+U_{g}. \end{equation*}

Avendo fissato lo zero dell’energia gravitazionale in corrispondenza dell’asse delle x e siccome il punto materiale m è vincolato a muoversi lungo l’asse orizzontale, si ha

(2)   \begin{equation*} U=U_{el}=\dfrac{1}{2}k(\Delta \ell)^{2}, \end{equation*}

dove \Delta \ell rappresenta in questo caso l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio \ell_{0}.
Dalla geometria del problema si osserva che

(3)   \begin{equation*} \Delta \ell=\ell-\ell_{0}=\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}. \end{equation*}

Sostituendo \Delta \ell nell’eq.(2), definito nell’eq.(3), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ U(x)=U_{el}=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}\right)^{2}.}\]

Riscriviamo l’espressione di U come segue

(4)   \begin{equation*} U=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}\right)}-\ell_{0}\right)^{2}= \dfrac{1}{2}k\left(\ell_{0}\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-\ell_{0}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-1\right)^{2}. \end{equation*}

Per piccole oscillazioni si ottiene[1]

(5)   \begin{equation*} U\approx\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}-1\right)^2=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}\right)^2, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ U\approx\dfrac{k}{8\ell_{0}^2}(\Delta x)^4,}\]

che è esattamente quello che volevamo dimostrare.

 

 

 

1. Ricordiamo che per y molto piccolo vale \sqrt{1+y}\approx 1+\dfrac{1}{2}y.

 

 

Fone: Riccardo Borghi – Esercizi e Problemi di fisica generale.