Esercizio lavoro ed energia 5

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 5 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa puntiforme $m$ è vincolata a muoversi su un piano orizzontale. Ad essa è collegata una molla di massa trascurabile, avente costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $\ell_{0}$ fissata ad una parete verticale come in figura. Inizialmente la molla è nella posizione di riposo; ad un certo punto per mezzo di un’opportuna forza esterna si sposta il corpo $m$ di una quantità $\Delta x$ rispetto alla parete verticale. Determinare l’energia potenziale di $m$ in funzione dello spostamento $\Delta x$ dalla parete e dimostrare che per piccole oscillazioni l’energia potenziale è proporzionale ad $(\Delta x)^{4}$ .

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Svolgimento. Fissiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ con origine $O$ in corrispondenza della posizione iniziale del corpo $m$ quando la molla è al riposo (ossia quando essa è in posizione verticale) e fissiamo lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza dell’asse $x$ . Il corpo $m$ è inizialmente nell’origine del sistema di riferimento scelto e successivamente con un’opportuna forza esterna il corpo $m$ è spostato di una certa distanza orizzontale $\Delta x$ rispetto all’origine $O$ , per cui la molla risulterà avere una lunghezza pari ad $\ell$ , come illustrato in figura 1.

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Sul corpo $m$ agisce la forza peso $m\vec{g}$ diretta nel verso negativo delle $y$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ diretta nel verso positivo delle $y$ e la forza elastica orientata come in figura 1.

L’energia potenziale del corpo $m$ è in generale data dalla somma dell’energia potenziale elastica $U_{el}$ e quella gravitazionale $U_{g}$ , ossia

(1) $\begin{equation*} U=U_{el}+U_{g}. \end{equation*}$

Avendo fissato lo zero dell’energia gravitazionale in corrispondenza dell’asse delle $x$ e siccome il punto materiale $m$ è vincolato a muoversi lungo l’asse orizzontale, si ha

(2) $\begin{equation*} U=U_{el}=\dfrac{1}{2}k(\Delta \ell)^{2}, \end{equation*}$

dove $\Delta \ell$ rappresenta in questo caso l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio $\ell_{0}$ .
Dalla geometria del problema si osserva che

(3) $\begin{equation*} \Delta \ell=\ell-\ell_{0}=\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}. \end{equation*}$

Sostituendo $\Delta \ell$ nell’eq.(2), definito nell’eq.(3), si ha

$\boxcolorato{fisica}{ U(x)=U_{el}=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}\right)^{2}.}$

Riscriviamo l’espressione di $U$ come segue

(4) $\begin{equation*} U=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}\right)}-\ell_{0}\right)^{2}= \dfrac{1}{2}k\left(\ell_{0}\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-\ell_{0}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-1\right)^{2}. \end{equation*}$

Per piccole oscillazioni si ottiene[1]

(5) $\begin{equation*} U\approx\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}-1\right)^2=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}\right)^2, \end{equation*}$