Esercizio lavoro ed energia 7

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 7 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Ad un blocco di massa m in quiete su un piano orizzontale viene applicato un impulso \vec{J}, orientato come in figura. A seguito di ciò il blocco scivola lungo il piano orizzontale liscio incontrando l’inizio di una guida circolare liscia di raggio R nel punto A. La velocità del corpo nel punto A è tale da consentire al blocco di arrivare in un punto B della guida. Il raggio R che congiunge il centro della guida con B forma un angolo \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi con la verticale. Calcolare la reazione vincolare della guida nel punto B.

 

 

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Svolgimento. Si ricorda che vale quanto segue

(1)   \begin{equation*} \vec{J}=\Delta \vec{p}=m\left(\vec{v}_f-\vec{v}_i\right), \end{equation*}

dove \vec{v}_i è la velocità prima dell’applicazione dell’impulso \vec{J} e \vec{v}_f è la velocità al termine dell’applicazione dell’impulso \vec{J}. Inizialmente il blocco è in quiete, pertanto si ha

(2)   \begin{equation*} \vec{J}=\Delta \vec{p}=m\left(\vec{v}_f-\vec{v}_i\right)=m\vec{v}_f, \end{equation*}

da cui

(3)   \begin{equation*} \vec{v}_f=\dfrac{\vec{J}}{m}\quad \Rightarrow \quad v_f=\dfrac{J}{m}. \end{equation*}

Successivamente, al termine dell’applicazione dell’impulso, il blocco m procederà di moto rettilineo uniforme con velocità \vec{v}_f=\vec{v}_A fino al punto A per il primo principio della dinamica, essendo il piano orizzontale liscio. Per determinare la reazione vincolare \vec{N} della guida circolare nel punto B è necessario conoscere la velocità dello stesso in B. Nel caso in esame possiamo applicare la conservazione dell’energia meccanica (non essendoci forze dissipative) tra il punto A ed il punto B, ossia

(4)   \begin{equation*} K_{A}+U_{A}=K_{B}+U_{B}, \end{equation*}

dove K_{A} e K_{B} rappresentano l’energia cinetica del blocco m rispettivamente nei punti A e B, analogamente U_{A} e U_{B} rappresentano l’energia potenziale gravitazionale del blocco m negli stessi punti. Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza del piano orizzontale, come illustrato in figura 1, per cui l’energia iniziale è solo cinetica, cioè

(5)   \begin{equation*} K_A+U_A=0+\dfrac{1}{2}mv_A^2=\dfrac{J^2}{2m}. \end{equation*}

 

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Dalla figura 1 si osserva che

(6)   \begin{equation*} h_{B}=R+h=R+R\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)=R\left(1-\cos\theta\right). \end{equation*}

Raggiunto il punto B, l’energia totale sarà data dalla somma dell’energia potenziale e cinetica, ovvero

(7)   \begin{equation*} K_{B}+U_{B}=mgh_B+\dfrac{1}{2}mv^2_B=mgR\left(1-\cos\theta\right)+\dfrac{1}{2}mv^2_B, \end{equation*}

dove v_B è la velocità di m nel punto B.
Sfruttando le equazioni (5) e (7) si può riscrivere l’equazione (4) come

(8)   \begin{equation*} \dfrac{J^2}{2m}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR\left(1-\cos\theta\right), \end{equation*}

da cui

(9)   \begin{equation*} v_{B}^2=\dfrac{J^2}{m^2}-2gR\left(1-\cos\theta\right). \end{equation*}

Nota la velocità del blocco m nel punto B, possiamo calcolare la reazione vincolare esercitata su di esso attraverso il secondo principio della dinamica. Costruiamo il diagramma di corpo libero e definiamo un sistema di riferimento cartesiano Otn centrato nel corpo con il versore \hat{n} ortogonale alla guida ed il versore \hat{t} ad essa tangente, come illustrato in figura 2.

 

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Dalla geometria del problema si evince che l’angolo tra il vettore \vec{N} ed il vettore m\vec{g} vale \pi-\theta, per cui proiettando le forze lungo i due assi del sistema di riferimento scelto, si ha

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} n: -mg\cos(\pi-\theta)-N=-\dfrac{mv_{B}^2}{R}\\ t:-mg\sin(\pi-\theta)=ma_{t}, \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} n: -mg\cos\theta+N=\dfrac{mv_{B}^2}{R}\\ t:-mg\sin\theta=ma_{t}, \end{cases} \end{equation*}

dove ricordiamo che \dfrac{v_{B}^2}{R} è l’accelerazione centripeta del corpo m, mentre a_{t} è l’accelerazione tangenziale del corpo m nel punto B. Si osservi che \cos \theta <0 perché \theta \in \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), per cui è possibile scrivere \cos \theta=-\left \vert \cos \theta \right \vert. Dalla prima equazione del sistema (10) si ottiene

(11)   \begin{equation*} N=\dfrac{mv_{B}^2}{R}+mg\cos(\theta)=\dfrac{mv_{B}^2}{R}-mg \left \vert \cos \theta \right \vert . \end{equation*}

Sostituendo v^2_B (definita dall’equazione (9) nell’eq.(11) si ottiene

    \[\begin{aligned} N&=\dfrac{m}{R}\left(\dfrac{J^2}{m^2}-2gR\left(1-\cos\theta\right)\right)-mg\left \vert \cos \theta \right \vert=\dfrac{J^2}{Rm}-2mg\left(1-\cos \theta\right)-mg\left \vert \cos \theta \right \vert=\\ &=\dfrac{J^2}{Rm}-2mg+2mg\cos \theta -mg\left \vert \cos \theta \right \vert=\dfrac{J^2}{Rm}-2mg-2mg\left \vert\cos \theta\right \vert -mg\left \vert \cos \theta \right \vert=\\ &=\dfrac{J^2}{Rm}-2mg -3mg\left \vert \cos \theta \right \vert. \end{aligned}\]

Si conclude che la reazione vincolare nel punto B è

    \[\boxcolorato{fisica}{ N=\dfrac{J^2}{Rm}-2mg -3mg\left \vert \cos \theta \right \vert.}\]