Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio lavoro ed energia 4

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 4

L’esercizio 4 sul lavoro e l’energia è il quarto della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio lavoro ed energia 3 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 5. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo esercizio lavoro ed energia 4

Esercizio 4 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m si muove di moto rettilineo uniforme su un piano orizzontale liscio con velocità V verso una delle estremità di una molla (di massa trascurabile) a riposo, come mostrato in figura. La molla non è ideale, ma esercita sul corpo una forza di richiamo F=-kx-\alpha x^{3}, dove x indica la compressione della molla e \alpha è una costante avente unità di misura \text{N}\cdot \text{m}^{-3}. Calcolare la massima compressione subita dalla molla.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma di un corpo di massa m in movimento verso una molla su un piano orizzontale liscio, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Svolgimento.

Costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo m, avendo fissato il sistema di riferimento fisso Oxy con origine O in corrispondenza della posizione iniziale del corpo m nel momento in cui raggiunge la molla, come illustrato in figura 1. Poiché il moto avviene lungo l’asse delle x consideriamo la dinamica solo lungo esso. Quindi, sul corpo m agisce la forza di richiamo della molla F con direzione lungo l’asse x e verso opposto alla compressione della molla stessa. Ricordiamo per completezza che sul corpo m agiscono anche la forza peso e la reazione vincolare lungo l’asse y ma non è rilevante ai fini del problema, poiché non è presente attrito.

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma di corpo libero per un corpo di massa m che comprime una molla su un piano orizzontale, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

 

Il piano è liscio, di conseguenza il vettore velocità del corpo m nell’istante in cui esso impatta con la molla sarà \overrightarrow{V}_{iniziale}=\overrightarrow{V}, per il primo principio della dinamica. Quando la molla raggiunge la massima compressione, significa che il corpo m si sarà arrestato, per cui \overrightarrow{V}_{finale}=\vec{0}. Dal teorema delle forze vive sappiamo che

(1)   \begin{equation*} K_{iniziale}-K_{finale}=L_{tot}, \end{equation*}

dove L_{tot} è il lavoro compiuto dalla risultante delle forze nell’intervallo di tempo (o di spazio in questo caso) considerato. Nel caso specifico, poiché l’unica forza agente sul corpo m è quella elastica F=-kx-\alpha x^{3} dall’eq.(1) si ha

(2)   \begin{equation*} 0-\dfrac{1}{2}mV^{2}=\int_{0}^{x_{max}}(-kx-\alpha x^{3})dx, \end{equation*}

dove x_{max} rappresenta la massima compressione della molla, come illustrato in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Sistema quando la molla ha raggiunto la massima compressione xmax, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Svolgendo l’integrale nell’eq.(2) si ha

(3)   \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}mV^{2}=-\dfrac{1}{2}kx^{2}-\dfrac{1}{4}\alpha x^{4}\bigg \vert_{0}^{x_{max}}=-\dfrac{1}{2}kx_{max}^{2}-\dfrac{1}{4}\alpha x_{max}^{4}, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \alpha x_{max}^4+2kx_{max}^2-2mV^2=0. \end{equation*}

Ponendo z\equiv x_{max}^2, l’eq.(4) diventa

(5)   \begin{equation*} \alpha z^2+2kz-2mV^2=0, \end{equation*}

le cui soluzioni sono

(6)   \begin{equation*} z=\dfrac{-k\pm \sqrt{k^2+2m\alpha V^2}}{\alpha}. \end{equation*}

Essendo z\equiv x_{max}^2>0 delle soluzioni dell’eq.(6) prendiamo solo quella positiva, ossia

(7)   \begin{equation*} z=\dfrac{-k+ \sqrt{k^2+2m\alpha V^2}}{\alpha}. \end{equation*}

Segue quindi che la massima compressione della molla è in modulo pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ |x_{max}|=\sqrt{\dfrac{-k+ \sqrt{k^2+2m\alpha V^2}}{\alpha}}.}\]

 


Fonte.

Riccardo Borghi – Esercizi e problemi di fisica.

 
 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






    Document