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Esercizio lavoro ed energia 19

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 19

L’esercizio 19 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 18 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 20. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 19

Esercizio 19 (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m viene lasciato scivolare con velocità iniziale nulla dalla sommità di un piano inclinato scabro, avente altezza h, angolo di base \theta e coefficiente di attrito dinamico \mu_d (punto A). Alla fine del piano inclinato (punto B), il punto materiale percorre un tratto di lunghezza d su un piano orizzontale scabro, con lo stesso coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Giunto alla fine di tale tratto (punto C), il punto viene fermato in D da una molla di costante elastica k. Trascurando l’attrito radente dinamico nel tratto in cui agisce la forza della molla, calcolare:

  1. la velocità del punto in B;
  2. l’accelerazione nel tratto AB;
  3. la variazione della sua energia cinetica nel tratto BC;
  4. il massimo valore della compressione della molla.

Nota.  La fine del piano inclinato si raccorda con il piano orizzontale in moto tale da far conservare l’energia di P.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

Schema del problema di lavoro ed energia con piano inclinato e molla

Svolgimento punto 1.

Per calcolare la velocità del corpo nel punto B possiamo sfruttare il fatto che il lavoro L_{\vec{f}_{d,1}} svolto dalla forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,1} lungo il tratto \overline{AB} è pari alla differenza di energia meccanica del punto materiale che possiede quando raggiunge il punto B e quando si trova in cima al piano inclinato nel punto A. Schematizziamo le due situazioni in figura 1, dove abbiamo definito un sistema di riferimento Oy tale per cui la quota dell’origine O rappresenta, arbitrariamente, lo zero dell’energia potenziale gravitazionale.

 

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Figura 2: rappresentazione dello spazio per corso lungo il piano inclinato.

Rappresentazione del sistema di riferimento e delle forze agenti sul punto materiale, lavoro ed energia

 

Nella configurazione iniziale il punto materiale è in quiete posto ad un’altezza h rispetto al piano orizzontale, per cui

    \[\begin{aligned} &\text{Energia cinetica}: &K_i=0;\\ &\text{Energia potenziale gravitazionale}: &U_i=mgh, \end{aligned}\]

da cui l’energia meccanica iniziale E_i del sistema è pari a

(1)   \begin{equation*} E_i=K_i+U_i=mgh. \end{equation*}

Nella configurazione finale il punto materiale raggiunge il punto B, trovandosi allo stesso livello dello zero dell’energia potenziale gravitazionale, con una velocità di modulo V_B, per cui

    \[\begin{aligned} &\text{Energia cinetica}: &K_f=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2;\\ &\text{Energia potenziale gravitazionale}: &U_f=0, \end{aligned}\]

da cui, l’energia meccanica finale E_f del sistema, è pari a

(2)   \begin{equation*} E_f=K_f+U_f=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2. \end{equation*}

Per quanto detto precedentemente sappiamo che

(3)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=E_f-E_i, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (1) e (2), si ha

(4)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2-mgh. \end{equation*}

Per calcolare V_B è utile calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito lungo il tragitto \overline{AB}, che per definizione sappiamo essere

(5)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=\int_{A}^{B}\vec{f}_{d,1}\cdot d\vec{x}. \end{equation*}

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy , come in figura 3.

 

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Figura 3: rappresentazione del sistema di riferimento e delle forze agenti sul punto materiale.

Rappresentazione dello spazio percorso lungo il piano inclinato nel contesto di lavoro ed energia

 

Sul punto materiale agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,1}, orientate come in figura 2. Applicando il secondo principio della dinamica al punto materiale e proiettando le forza lungo gli assi x ed y, otteniamo

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_{d,1}=ma_1\\\\ y:\quad -mg\cos(\theta)+N_1=0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_{d,1}=ma_1\\\\ y:\quad N_1=mg\cos(\theta). \end{cases} \end{equation*}

Il vettore forza di attrito dinamico è per definizione

(7)   \begin{equation*} \vec{f}_{d,1}=-\mu_d N_1\,\hat{x}=-\mu_d mg\cos(\theta)\,\hat{x}, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito il modulo della reazione vincolare N_1 (definito nella seconda equazione del sistema (6)). Sostituendo f_{d,1} (definita nell’equazione (7)) nell’equazione (5) e sfruttando la relazione \hat{x}\cdot d\vec{x}=dx, si ha

(8)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,1}}=-\mu_d mg\cos(\theta)\overline{AB}=-\mu_d mg\cos(\theta)\left(\dfrac{h}{\sin(\theta)}\right)=-\mu_d mgh\cot(\theta). \end{equation*}

Sostituendo il valore di L_{\vec{f}_{d,1}} (definita nell’equazione (8)) nell’equazione (4), si ottiene

(9)   \begin{equation*} -\mu_d mgh\cot(\theta)=\dfrac{1}{2}mV_{B}^2-mgh\quad\Leftrightarrow\quad gh(1-\mu_d\cot(\theta))=\dfrac{1}{2}V_{B}^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{B}=\sqrt{2gh(1-\mu_d\cot(\theta))}.}\]

La condizione di esistenza di V_B è

(10)   \begin{equation*} \mu_d\cot(\theta)<1. \end{equation*}

 


Svolgimento punto 2.

Sostituendo N_1=mg\cos \theta (trovato dalla seconda equazione del sistema (6)) nella prima equazione del sistema (6), si ha

(11)   \begin{equation*} mg\sin(\theta)-mg\mu_d\cos \theta=ma_1, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} a_1=g\left(\sin(\theta)-\mu_d\cos \theta\right)=\text{costante}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_1=g\left(\sin(\theta)-\mu_d\cos \theta\right).}\]

 


Svolgimento punto 3.

In questo punto chiameremo \vec{f}_{d,2} e \vec{N}_2 rispettivamente forza di attrito dinamico e reazione vincolare. Per calcolare la variazione \Delta \tilde{K} dell’energia cinetica del corpo nel tratto scabro di lunghezza \overline{BC}=d, possiamo applicare il teorema delle forze vive; per cui, il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico nel tratto \overline{BC}=d, è

(13)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,2}}=\Delta \tilde{K}. \end{equation*}

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy e costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo lungo il tratto \overline{BC}, come in Figura 4.

 

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Figura 4.

Diagramma di corpo libero per il tratto BC con attrito dinamico, lavoro ed energia

 

Sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_2 dirette nel verso negativo e positivo dell’asse y rispettivamente; inoltre, sull’asse delle x agisce nel verso negativo la forza di attrito dinamico \vec{f}_{d,2}, poiché il corpo si sta muovendo nel verso positivo dell’asse x. Tutte le forze sono rappresentate in figura 4. Applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze sugli assi x ed y, si ottiene

(14)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad -f_{d,2}=m\ddot{x}\\\\ y:\quad -mg+N_2=0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:\quad -f_{d,2}=m\ddot{x}\\\\ y:\quad N_2=mg. \end{cases} \end{equation*}

In questo caso la forza di attrito dinamico è

(15)   \begin{equation*} \vec{f}_{d,2}=-\mu_d N_2\hat{x}=-\mu_d mg\,\hat{x}, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’espressione della reazione vincolare N ottenuta dalla seconda equazione del sistema (14). Quindi il lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico è

(16)   \begin{equation*} L_{\vec{f}_{d,2}}=\int_{B}^{C}\vec{f}_{d,2}\cdot d \vec{x}=-\mu_d mg\int_{B}^{C}\hat{x}\cdot d\vec{x}=-\mu_d mg\overline{BC}=-\mu_d mgd, \end{equation*}

dove, come fatto in precedenza, abbiamo usato la relazione \hat{x}\cdot d\vec{x}=dx. Sfruttando le equazioni (16) e (13), si giunge ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta K=-\mu_d mgd.}\]

 


Svolgimento punto 4.

Nel tratto in cui la molla si comprime non è presente l’attrito dinamico, pertanto si conserva l’energia meccanica. L’energia cinetica con la quale il corpo impatta la molla (nel punto C) viene convertita in energia potenziale elastica (poiché il corpo viene fermato dalla molla), ossia

(17)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}k\Delta x_{max}=\dfrac{1}{2}mV_{C}^2\quad\Leftrightarrow\quad\Delta x_{max}=\sqrt{\dfrac{m}{k}}V_C, \end{equation*}

dove V_C rappresenta la velocità con la quale il punto materiale impatta la molla e \Delta x_{max} rappresenta la compressione massima della molla. Per calcolare V_C utilizziamo la soluzione al punto c), ossia

(18)   \begin{equation*} \Delta K=-\mu_d mgd\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}mV_{C}^2-\dfrac{1}{2}mV_{B}^2=-\mu_d mgd\quad\Leftrightarrow\quad V_C=\sqrt{V_{B}^2-2\mu_d gd}. \end{equation*}

Sostituendo il valore di V_B in ottenuto come soluzione del punto a) in (18), si trova

(19)   \begin{equation*} V_C=\sqrt{2gh(1-\mu_d\cot(\theta))-2\mu_dgd}. \end{equation*}

Si osservi che la condizione di esistenza di V_C è

(20)   \begin{equation*} 2h(1-\mu_d\cot(\theta))-2\mu_d d>0. \end{equation*}

Inserendo il valore di V_C (ottenuto nell’equazione (19)) nella equazione (17), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x_{max}=\sqrt{\dfrac{m}{k}\left[2gh(1-\mu_d\cot(\theta))-\mu_dgd\right]}.}\]

 

 

 

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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