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Esercizio lavoro ed energia 13

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 13

L’esercizio 13 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 12 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 14. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 13

Esercizio 13 (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale, con lunghezza a riposo \ell_0, può essere compressa di una quantità \Delta \ell da un’opportuna forza esterna F. Un blocco di massa m è inizialmente fermo in cima ad un piano inclinato privo di attrito, formante un angolo \theta con il piano orizzontale. Ad un certo punto viene lasciato libero di scorrere lungo il piano. Il blocco si arresta momentaneamente dopo aver compresso la molla di una quantità \Delta \tilde{\ell}.
Calcolare di quanto si è spostato il corpo m lungo il piano inclinato e qual è la sua velocità quando tocca la molla. Supporre che nell’urto tra la molla e il punto materiale m si conservi l’energia.

 

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Diagramma del lavoro ed energia con blocco che scivola lungo un piano inclinato verso una molla compressa

Svolgimento.

La prima cosa da fare nella risoluzione di questo problema è sfruttare l’informazione preliminare sulla caratteristica della molla. Essendo una molla ideale, essa obbedisce alla legge di Hooke, per cui se in seguito ad una forza F si comprime di \Delta \ell allora possiamo determinare la sua costante elastica k, ossia

(1)   \begin{equation*} F=k\Delta\ell\quad\Leftrightarrow\quad k=\dfrac{F}{\Delta\ell}. \end{equation*}

Poiché il sistema non presenta attriti dissipativi, la sua energia meccanica si conserva in ogni istante. Consideriamo il sistema nella configurazione iniziale, supponendo che il blocco m si trovi ad una distanza L dall’estremità della molla a riposo, come illustrato in figura 1. Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza della base del piano inclinato. Sia, inoltre, L la distanza del blocco m dalla molla nella posizione di riposo all’istante t=0. Poiché il corpo m è inizialmente fermo (energia cinetica nulla) e la molla è a riposo, l’energia meccanica del sistema nella configurazione iniziale è solo potenziale, ovvero vale

(2)   \begin{equation*} E_i=U_i=mg(L+\ell_{0})\sin\theta, \end{equation*}

dove la quantità (L+\ell_{0})\sin\theta rappresenta l’altezza del blocco rispetto al piano orizzontale.

 

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Configurazione finale del lavoro ed energia con blocco che comprime una molla su un piano inclinato

 

Consideriamo adesso la configurazione finale nella quale il corpo m scendendo lungo il piano inclinato, incontra la molla e la comprime di una quantità \Delta \tilde{\ell} arrestandosi momentaneamente, come illustrato in figura 2.

 

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Illustrazione del lavoro ed energia del blocco che si ferma momentaneamente comprimendo la molla  

Nella configurazione finale, l’energia cinetica del corpo m sarà ancora nulla poiché esso si arresta momentaneamente, ma poiché la molla viene compressa, nel computo dell’energia meccanica del sistema oltre all’energia potenziale gravitazionale contribuirà anche l’energia potenziale elastica, ossia

(3)   \begin{equation*} E_f=\underbrace{mg(\ell_0-\Delta \tilde{\ell})\sin\theta}_{\text{Energia potenziale gravitazionale}}+\underbrace{\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2}_{\text{Energia potenziale elastica}}, \end{equation*}

dove la quantità (\ell_0-\Delta\tilde{\ell})\sin\theta rappresenta l’altezza, rispetto al piano orizzontale, alla quale si arresta momentaneamente il corpo m. Poiché l’energia meccanica si conserva si ha

(4)   \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

da cui, usando le eq.(2) e (3), segue che

(5)   \begin{equation*} mg(L+\ell_{0})\sin\theta=mg(\ell_{0}-\Delta\tilde{\ell})\sin\theta+\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2. \end{equation*}

Dall’eq.(5) l’unica incognita è L ossia la distanza iniziale del blocco m dall’estremità della molla, per cui

(6)   \begin{equation*} L=\dfrac{\dfrac{1}{2}k(\Delta \tilde{\ell})^2-mg\Delta\tilde{\ell}\sin\theta}{mg\sin\theta}=\dfrac{k(\Delta\tilde{\ell})^2-2mg\Delta\tilde{\ell}\sin\theta}{2mg\sin\theta}=\dfrac{\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}{2mg\sin\theta}. \end{equation*}

Complessivamente il corpo m avrà percorso, lungo il piano inclinato, una distanza pari a S=L+\Delta \tilde{\ell}, cioè

(7)   \begin{equation*} S=L+\Delta \tilde{\ell}=\dfrac{\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)+2mg\Delta \tilde{\ell}\sin\theta}{2mg\sin\theta}=\dfrac{k(\Delta\tilde{\ell})^2}{2mg\sin\theta}=\dfrac{F(\Delta\tilde{\ell})^2}{2 mg\Delta\ell\sin\theta }. \end{equation*}

Si conclude che lo spazio S percorso da m prima di fermarsi è

    \[\boxcolorato{fisica}{ S=\dfrac{F(\Delta\tilde{\ell})^2}{2 mg\Delta\ell\sin\theta }.}\]

 

Per determinare la velocità del corpo un istante prima di toccare la molla consideriamo la configurazione del sistema appena il blocco m tocca la molla, come illustrato in figura 3.

 

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Diagramma finale con blocco che tocca la molla dopo aver scivolato lungo il piano inclinato  

In questo caso l’energia totale del corpo m è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, mentre non abbiamo il contributo dell’energia potenziale elastica, poiché la molla a riposo. Detta \tilde{E} l’energia meccanica del sistema nella configurazione illustrata in fig.3, si ha che

(8)   \begin{equation*} \tilde{E}=\dfrac{1}{2}mV^2+mg\ell_{0}\sin\theta, \end{equation*}

dove la quantità \ell_{0}\sin\theta rappresenta l’altezza del corpo m appena tocca la molla e V è il modulo della velocità di m nell’istante in cui tocca la molla. Dalla conservazione dell’energia tra il sistema nella configurazione iniziale (fig.1) ed il sistema quando il blocco ha appena toccato la molla (fig.3), si ottiene

(9)   \begin{equation*} mg(L+\ell_{0})\sin\theta=\dfrac{1}{2}mV^2+mg\ell_{0}\sin\theta, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} V=\sqrt{2gL\sin\theta}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di L (definita nell’eq.(6) in (10), si ottiene

(11)   \begin{equation*} V=\sqrt{\dfrac{2g\sin\theta\Delta\tilde{\ell}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}{2mg\sin\theta}}=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}, \end{equation*}

Sfruttando (1), la relazione (10) diventa

(12)   \begin{equation*} V=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}(k\Delta\tilde{\ell}-2mg\sin\theta)}=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}\left(\dfrac{F\Delta\tilde{\ell}}{\Delta\ell}-2mg\sin\theta\right)}. \end{equation*}

Si conclude che la velocità che il corpo m ha un istante prima di impattare sulla molla è

    \[\boxcolorato{fisica}{ V=\sqrt{\dfrac{\Delta\tilde{\ell}}{m}\left(\dfrac{F\Delta\tilde{\ell}}{\Delta\ell}-2mg\sin\theta\right)}.}\]


 

 

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Esercizi di Meccanica classica

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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