Esercizio lavoro ed energia 11 (oscillatore armonico smorzato da una forza di attrito radente)

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 11  (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m si muove con velocità V_0 diretta lungo un piano orizzontale ed è attaccato ad una molla ideale di costante elastica k, inizialmente nella posizione di riposo (supporre che la posizione di riposo della molla sia x_0). Tra il punto materiale e la superficie orizzontale di appoggio c’è attrito con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente \mu_S e \mu_d. Si determini la relazione che deve sussistere tra il modulo V_0 della velocità e le grandezze m,k,\mu_S e \mu_d affinché il punto materiale rimanga ferma nella p

 

 

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Svolgimento. Fissiamo un sistema di riferimento Oxy con origine O coincidente con la posizione a riposo della molla come in figura 2 e osserviamo il corpo procedere nel verso positivo delle x. Senza perdita di generalità supponiamo che il corpo si fermi immediatamente una volta raggiunta la condizione di allungamento massimo della molla, ovvero che la velocità di m sia pari a zero. Osserviamo che inizialmente la molla non è né allungata né compressa, pertanto dal punto di vista dinamico le uniche forze agenti su m sono la forza di attrito dinamico \vec{f}_d=-\mu_dN\hat{x} lungo l’orizzontale, la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}, orientate lungo la verticale; si osservi che inizialmente la forza della molla è nulla. Considerazioni analoghe valgono dal punto di vista energetico, ovvero per quanto detto possiamo notare che inizialmente l’energia del sistema è solo cinetica. Consideriamo il punto materiale in una generica posizione x, rispetto al sistema di riferimento scelto.
Ora, lungo l’asse delle x, oltre alle forze dette in precedenza, agirà la forza elastica -k\vec{x}. Applichiamo la seconda legge della dinamica: lungo l’asse delle y abbiamo

(1)   \begin{equation*} N=mg \end{equation*}

e lungo l’asse delle x si ha

(2)   \begin{equation*} -kx-mg\mu_d=m\ddot{x}. \end{equation*}

 

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Vogliamo riscrivere l’eq. (14) nella forma \ddot{z}+\omega^2z=0, dove \omega^2=k/m, così da ricondurci all’equazione di un oscillatore armonico, di cui conosciamo la soluzione generale. Si osservi che in questo caso l’oscillatore armonico è un oscillatore armonico smorzato da una forza di attrito radente, pertanto esisterà un certo istante t per cui il sistema rimane in quiete.
Nel nostro caso, mettendo in evidenza -k nell’eq.(14), si ha

(3)   \begin{equation*} -\dfrac{k}{m}\left(x+\dfrac{mgmu_d}{k}\right)=\ddot{x}, \end{equation*}

da cui, ponendo z\equiv x+mg\mu_D/k, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \ddot{z}+\omega^2z=0. \end{equation*}

La soluzione dell’equazione differenziale (com’è noto in letteratura) è

(5)   \begin{equation*} z(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove A e \phi sono due costanti da determinare.

Ricordando che z\equiv x+mg\mu_D/k, si ottiene

(6)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{mg\mu_d}{k}+A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

cioè la legge oraria di m.
Per calcolare le costanti A e \phi imponiamo le condizioni iniziali

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t=0)=0\\ \\ \dot{x}(t=0)=V_0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} -\dfrac{mg\mu_d}{k}+A\sin\phi=0\\ \\ \omega A\cos\phi=V_0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} A\sin\phi=\dfrac{mg\mu_d}{k}\\ \\ A\cos\phi=\dfrac{V_0}{\omega}. \end{cases} \end{equation*}

Elevando al quadrato le equazioni del sistema  (7) e sommandole membro a membro (sfruttando la relazione trigonometrica \cos^2\phi+\sin^2\phi=1) di esse, si ha

(8)   \begin{equation*} A^2=\left(\dfrac{mg\mu_d}{k}\right)^2+\left(\dfrac{V_0}{\omega}\right)^2, \end{equation*}

da cui, ricordando che k/m=\omega^2, si ottiene

(9)   \begin{equation*} A=\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}. \end{equation*}

Sostituendo A nella seconda equazione del sistema (7) si giunge a

(10)   \begin{equation*} \cos\phi=\dfrac{V_0}{\omega A}\quad \Leftrightarrow \quad \phi=\arccos\left(\dfrac{V_0}{\omega A}\right). \end{equation*}

La legge oraria (definita nell’.eq (6) dalla massa m, usando i risultati ottenuti nell’eq. (9) e nell’eq. (14), diventa

(11)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{mg\mu_d}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\sin(\omega t+\phi). \end{equation*}

La massima elongazione della molla x_{max} si avrà quando \sin(\omega t+\phi)=1, per cui

(12)   \begin{equation*} x_{max}=-\dfrac{mg\mu_D}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}. \end{equation*}

Affinché la massa m resti ferma nella posizione di massima elongazione della molla x_{max} deve valere la seguente condizione

(13)   \begin{equation*} kx_{max}\leq mg\mu_S, \end{equation*}

dove mg\mu_S è il modulo massimo della forza di attrito statico.
In virtù di ciò, sostituendo l’espressione di x_{max} nell’eq. (13), si ha

    \[\begin{aligned} &-mg\mu_D+m\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\leq mg\mu_S\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\leq g(\mu_S+\mu_d)\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}\leq g^2(\mu_{S}^2+\mu_{d}^2+2\mu_S\mu_d)\quad \Leftrightarrow \quad V_{0}^2\leq \dfrac{mg^2}{k}(\mu_{S}^2+2\mu_d\mu_S). \end{aligned}\]

Si conclude che la relazione cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{0}\leq\sqrt{\dfrac{mg^2}{k}(\mu_{S}^2+2\mu_d\mu_S)}.}\]

 

Osservazione 1.  Si osservi che (14) è valida fino a quando il corpo si ferma, perché ipotizzando che il corpo ritorni indietro l’attrito cambierebbe direzione e quindi l’equazione (14) sarebbe diversa, cioè della forma

(14)   \begin{equation*} -kx+mg\mu_d=m\ddot{x}. \end{equation*}

 

Osservazione 2. È possibile ottenere il valore dell’elongazione massima x_{max} anche da considerazioni energetiche.
Applicando il teorema delle forze vive, considerando come situazione iniziale l’inizio del moto e la situazione in cui il sistema rimane in quiete (ovvero quando il corpo m si trova ad una distanza x_{max} dall’origine O), abbiamo che

(15)   \begin{equation*} \text{Variazione energia cinetica=Lavoro della forza di attrito+Lavoro della forza della molla}, \end{equation*}

cioè

(16)   \begin{equation*} 0- \dfrac{1}{2}mV_{0}^2=\underbrace{-mg\mu_dx_{max}}_{\text{Lavoro forza di attrito dinamico}}+\underbrace{-{1}/{2}kx_{max}^2}_{\text{Lavoro della forza della molla}}, \end{equation*}

o anche

(17)   \begin{equation*} kx_{max}^2+2mg\mu_d-mV_{0}^2=0. \end{equation*}

Le soluzioni sono

(18)   \begin{equation*} x_{max}=\dfrac{-mg\mu_d\pm\sqrt{m^2g^2\mu_{d}^2+mkV_{0}^2}}{k}, \end{equation*}

da cui prendendo quella positiva

(19)   \begin{equation*} x_{max}-\dfrac{mg\mu_D}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{D}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}, \end{equation*}

si ottiene x_{max}, come ottenuto in precedenza nell’eq. (12).

 

Approfondimento teorico 1. Nel problema abbiamo supposto che una volta raggiunta la velocità nulla il punto materiale m rimanga in quiete, ovvero che kx_{max}<N\mu_s e pertanto la forza della molla non è maggiore della forza di attrito statico massima. Ora, ipotizziamo che la velocità iniziale V di m sia maggiore di V_0 e studiamo cosa succede. In presenza di attrito radente, con un velocità iniziale superiore a V_0, l’oscillatore armonico compierà diverse oscillazioni la cui ampiezza si riduce nel tempo. Dopo un certo intervallo di tempo, il corpo raggiungerà uno stato di quiete nel quale forza di attrito radente e forza elastica sono perfettamente bilanciate. Si osservi che se si richiedesse di studiare le posizione di equilibrio del sistema verrebbe un insieme con infinite soluzioni, perché nello stato di quiete si ha f_s=kx e siccome f_s\leq N\mu_s, ovvero kx\leq mg \mu_s, le soluzioni che soddisfano la disequazione sono infinite. Pertanto si può generalizzare la definizione di equilibrio di un punto materiale come: l’insieme delle posizioni per cui la somma delle forze è zero. Si invita il lettore scrupoloso a determinare l’insieme delle posizioni di equilibrio e successivamente calcolare l’estremo superiore e inferiore di tale insieme.

 

Approfondimento teorico 2.  In una situazione realistica l’oscillatore armonico viene frenato dalle forze di attrito radente, l’ampiezza dell’oscillazione diminuisce nel tempo e ad un certo istante il sistema si fermerà. Se la forza è quella di attrito radente, si trova che l’ampiezza delle oscillazioni diminuisce linearmente nel tempo e che il tempo per compiere un’oscillazione è sempre la stesso (viene chiamato pseudo periodo, in quanto un’oscillazione non è uguale alla successiva, il moto non è periodico). Dopo un certo tempo, dall’inizio del moto, il punto materiale m non si fermerà nel centro di oscillazione (lunghezza a riposo della molla) ma, ad una certa distanza da questo. Di conseguenza, ogni volta che il punto materiale m si ferma, se la forza della molla kx è abbastanza grande da “sconfiggere” la forza di attrito statico massima (N\mu_{S}) il corpo m ritorna in movimento, altrimenti no. Pertanto ogni volta che il corpo m si ferma bisogna verificare che kx>N\mu_{S}=mg\mu_{S}, se questo non accade il sistema rimane in quiete, altrimenti rientra in movimento. Chiaramente essendoci la forza di attrito dinamico il sistema perde energia e ogni volta che il sistema rientra in movimento l’ampiezza di oscillazione sarà minore (la forza della molla avrà un valore massimo inferiore a quello dell’oscillazione precedente), di conseguenza esisterà un certo istante t per cui si raggiunge una condizione dinamica che verifica kx<N\mu_{S}=mg\mu_{S}, cioè il sistema rimane in quiete. Raggiunta la condizione di stazionarietà, in termini energetici vuol dire che il sistema rimane per un tempo indefinito con un’energia potenziale elastica pari ad \dfrac{1}{2}kx_{max}^2.
Di seguito rappresentiamo il moto oscillatorio di un punto materiale soggetto ad una forza elastica ed ad una forza di attrito radente.

 

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