50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Il mio account
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Lavoro ed energia: esercizio 11

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 11

Esercizio lavoro ed energia 11

L’esercizio 11 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 10 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 12. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.
L’esercizio 11 è un esercizio dedicato allo oscillatore armonico smorzato da una forza di attrito radente. Un oscillatore armonico smorzato è un sistema fisico che oscilla sotto l’influenza di una forza di richiamo proporzionale allo spostamento (come una molla), ma in cui è presente anche una forza di attrito radente che riduce gradualmente l’ampiezza delle oscillazioni nel tempo. Questo attrito provoca una perdita di energia nel sistema, portando a un movimento oscillatorio che si attenua fino a fermarsi completamente. Il comportamento di un tale sistema è descritto da equazioni differenziali che tengono conto sia della forza di richiamo che dell’attrito.

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

 

Testo lavoro ed energia 11

Esercizio 11 (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m si muove con velocità V_0 diretta lungo un piano orizzontale ed è attaccato ad una molla ideale di costante elastica k, inizialmente nella posizione di riposo (supporre che la posizione di riposo della molla sia x_0). Tra il punto materiale e la superficie orizzontale di appoggio c’è attrito con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente \mu_S e \mu_d. Si determini la relazione che deve sussistere tra il modulo V_0 della velocità e le grandezze m,k,\mu_S e \mu_d affinché il punto materiale rimanga ferma nella posizione corrispondente al massimo allungamento della molla.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Lavoro ed energia: schema di un punto materiale collegato a una molla su un piano orizzontale

Svolgimento.

Fissiamo un sistema di riferimento Oxy con origine O coincidente con la posizione a riposo della molla come in figura 2 e osserviamo il corpo procedere nel verso positivo delle x. Senza perdita di generalità supponiamo che il corpo si fermi immediatamente una volta raggiunta la condizione di allungamento massimo della molla, ovvero che la velocità di m sia pari a zero. Osserviamo che inizialmente la molla non è né allungata né compressa, pertanto dal punto di vista dinamico le uniche forze agenti su m sono la forza di attrito dinamico \vec{f}_d=-\mu_dN\hat{x} lungo l’orizzontale, la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}, orientate lungo la verticale; si osservi che inizialmente la forza della molla è nulla. Considerazioni analoghe valgono dal punto di vista energetico, ovvero per quanto detto possiamo notare che inizialmente l’energia del sistema è solo cinetica. Consideriamo il punto materiale in una generica posizione x, rispetto al sistema di riferimento scelto. Ora, lungo l’asse delle x, oltre alle forze dette in precedenza, agirà la forza elastica -k\vec{x}. Applichiamo la seconda legge della dinamica: lungo l’asse delle y abbiamo

(1)   \begin{equation*} N=mg \end{equation*}

e lungo l’asse delle x si ha

(2)   \begin{equation*} -kx-mg\mu_d=m\ddot{x}. \end{equation*}

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Lavoro ed energia: diagramma di corpo libero di un blocco collegato a una molla con forze agenti

 

Vogliamo riscrivere l’eq. (14) nella forma \ddot{z}+\omega^2z=0, dove \omega^2=k/m, così da ricondurci all’equazione di un oscillatore armonico, di cui conosciamo la soluzione generale. Si osservi che in questo caso l’oscillatore armonico è un oscillatore armonico smorzato da una forza di attrito radente, pertanto esisterà un certo istante t per cui il sistema rimane in quiete. Nel nostro caso, mettendo in evidenza -k nell’eq.(14), si ha

(3)   \begin{equation*} -\dfrac{k}{m}\left(x+\dfrac{mgmu_d}{k}\right)=\ddot{x}, \end{equation*}

da cui, ponendo z\equiv x+mg\mu_D/k, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \ddot{z}+\omega^2z=0. \end{equation*}

La soluzione dell’equazione differenziale (com’è noto in letteratura) è

(5)   \begin{equation*} z(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove A e \phi sono due costanti da determinare.

Ricordando che z\equiv x+mg\mu_D/k, si ottiene

(6)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{mg\mu_d}{k}+A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

cioè la legge oraria di m. Per calcolare le costanti A e \phi imponiamo le condizioni iniziali

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t=0)=0\\ \\ \dot{x}(t=0)=V_0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} -\dfrac{mg\mu_d}{k}+A\sin\phi=0\\ \\ \omega A\cos\phi=V_0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} A\sin\phi=\dfrac{mg\mu_d}{k}\\ \\ A\cos\phi=\dfrac{V_0}{\omega}. \end{cases} \end{equation*}

Elevando al quadrato le equazioni del sistema  (7) e sommandole membro a membro (sfruttando la relazione trigonometrica \cos^2\phi+\sin^2\phi=1) di esse, si ha

(8)   \begin{equation*} A^2=\left(\dfrac{mg\mu_d}{k}\right)^2+\left(\dfrac{V_0}{\omega}\right)^2, \end{equation*}

da cui, ricordando che k/m=\omega^2, si ottiene

(9)   \begin{equation*} A=\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}. \end{equation*}

Sostituendo A nella seconda equazione del sistema (7) si giunge a

(10)   \begin{equation*} \cos\phi=\dfrac{V_0}{\omega A}\quad \Leftrightarrow \quad \phi=\arccos\left(\dfrac{V_0}{\omega A}\right). \end{equation*}

La legge oraria (definita nell’.eq (6) dalla massa m, usando i risultati ottenuti nell’eq. (9) e nell’eq. (14), diventa

(11)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{mg\mu_d}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\sin(\omega t+\phi). \end{equation*}

La massima elongazione della molla x_{max} si avrà quando \sin(\omega t+\phi)=1, per cui

(12)   \begin{equation*} x_{max}=-\dfrac{mg\mu_D}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}. \end{equation*}

Affinché la massa m resti ferma nella posizione di massima elongazione della molla x_{max} deve valere la seguente condizione

(13)   \begin{equation*} kx_{max}\leq mg\mu_S, \end{equation*}

dove mg\mu_S è il modulo massimo della forza di attrito statico. In virtù di ciò, sostituendo l’espressione di x_{max} nell’eq. (13), si ha

    \[\begin{aligned} &-mg\mu_D+m\sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\leq mg\mu_S\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}\leq g(\mu_S+\mu_d)\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad g^2\mu_{d}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}\leq g^2(\mu_{S}^2+\mu_{d}^2+2\mu_S\mu_d)\quad \Leftrightarrow \quad V_{0}^2\leq \dfrac{mg^2}{k}(\mu_{S}^2+2\mu_d\mu_S). \end{aligned}\]

Si conclude che la relazione cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{0}\leq\sqrt{\dfrac{mg^2}{k}(\mu_{S}^2+2\mu_d\mu_S)}.}\]

 


Osservazione 1.

Si osservi che (14) è valida fino a quando il corpo si ferma, perché ipotizzando che il corpo ritorni indietro l’attrito cambierebbe direzione e quindi l’equazione (14) sarebbe diversa, cioè della forma

(14)   \begin{equation*} -kx+mg\mu_d=m\ddot{x}. \end{equation*}

 


Osservazione 2.

È possibile ottenere il valore dell’elongazione massima x_{max} anche da considerazioni energetiche. Applicando il teorema delle forze vive, considerando come situazione iniziale l’inizio del moto e la situazione in cui il sistema rimane in quiete (ovvero quando il corpo m si trova ad una distanza x_{max} dall’origine O), abbiamo che

(15)   \begin{equation*} \text{Variazione energia cinetica=Lavoro della forza di attrito+Lavoro della forza della molla}, \end{equation*}

cioè

(16)   \begin{equation*} 0- \dfrac{1}{2}mV_{0}^2=\underbrace{-mg\mu_dx_{max}}_{\text{Lavoro forza di attrito dinamico}}+\underbrace{-{1}/{2}kx_{max}^2}_{\text{Lavoro della forza della molla}}, \end{equation*}

o anche

(17)   \begin{equation*} kx_{max}^2+2mg\mu_d-mV_{0}^2=0. \end{equation*}

Le soluzioni sono

(18)   \begin{equation*} x_{max}=\dfrac{-mg\mu_d\pm\sqrt{m^2g^2\mu_{d}^2+mkV_{0}^2}}{k}, \end{equation*}

da cui prendendo quella positiva

(19)   \begin{equation*} x_{max}-\dfrac{mg\mu_D}{k}+\dfrac{m}{k}\sqrt{g^2\mu_{D}^2+\dfrac{kV_{0}^2}{m}}, \end{equation*}

si ottiene x_{max}, come ottenuto in precedenza nell’eq. (12).

 


Approfondimento teorico 1.

Nel problema abbiamo supposto che una volta raggiunta la velocità nulla il punto materiale m rimanga in quiete, ovvero che kx_{max}<N\mu_s e pertanto la forza della molla non è maggiore della forza di attrito statico massima. Ora, ipotizziamo che la velocità iniziale V di m sia maggiore di V_0 e studiamo cosa succede. In presenza di attrito radente, con un velocità iniziale superiore a V_0, l’oscillatore armonico compierà diverse oscillazioni la cui ampiezza si riduce nel tempo. Dopo un certo intervallo di tempo, il corpo raggiungerà uno stato di quiete nel quale forza di attrito radente e forza elastica sono perfettamente bilanciate. Si osservi che se si richiedesse di studiare le posizione di equilibrio del sistema verrebbe un insieme con infinite soluzioni, perché nello stato di quiete si ha f_s=kx e siccome f_s\leq N\mu_s, ovvero kx\leq mg \mu_s, le soluzioni che soddisfano la disequazione sono infinite. Pertanto si può generalizzare la definizione di equilibrio di un punto materiale come: l’insieme delle posizioni per cui la somma delle forze è zero. Si invita il lettore scrupoloso a determinare l’insieme delle posizioni di equilibrio e successivamente calcolare l’estremo superiore e inferiore di tale insieme.

 


Approfondimento teorico 2.

In una situazione realistica l’oscillatore armonico viene frenato dalle forze di attrito radente, l’ampiezza dell’oscillazione diminuisce nel tempo e ad un certo istante il sistema si fermerà. Se la forza è quella di attrito radente, si trova che l’ampiezza delle oscillazioni diminuisce linearmente nel tempo e che il tempo per compiere un’oscillazione è sempre la stesso (viene chiamato pseudo periodo, in quanto un’oscillazione non è uguale alla successiva, il moto non è periodico). Dopo un certo tempo, dall’inizio del moto, il punto materiale m non si fermerà nel centro di oscillazione (lunghezza a riposo della molla) ma, ad una certa distanza da questo. Di conseguenza, ogni volta che il punto materiale m si ferma, se la forza della molla kx è abbastanza grande da “sconfiggere” la forza di attrito statico massima (N\mu_{S}) il corpo m ritorna in movimento, altrimenti no. Pertanto ogni volta che il corpo m si ferma bisogna verificare che kx>N\mu_{S}=mg\mu_{S}, se questo non accade il sistema rimane in quiete, altrimenti rientra in movimento. Chiaramente essendoci la forza di attrito dinamico il sistema perde energia e ogni volta che il sistema rientra in movimento l’ampiezza di oscillazione sarà minore (la forza della molla avrà un valore massimo inferiore a quello dell’oscillazione precedente), di conseguenza esisterà un certo istante t per cui si raggiunge una condizione dinamica che verifica kx<N\mu_{S}=mg\mu_{S}, cioè il sistema rimane in quiete. Raggiunta la condizione di stazionarietà, in termini energetici vuol dire che il sistema rimane per un tempo indefinito con un’energia potenziale elastica pari ad \dfrac{1}{2}kx_{max}^2. Di seguito rappresentiamo il moto oscillatorio di un punto materiale soggetto ad una forza elastica ed ad una forza di attrito radente.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: Lavoro ed energia: grafico del moto oscillatorio smorzato di un punto materiale collegato a una molla.

Lavoro ed energia: grafico del moto oscillatorio smorzato di un punto materiale collegato a una molla    


 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

    Leggi...

    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

    Leggi...

    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






    Document