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Esercizio corpo rigido 2

Dinamica del corpo rigido

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L’Esercizio Corpo Rigido 2 è il secondo della raccolta dedicata agli esercizi misti sul corpo rigido. Precede l’Esercizio Corpo Rigido 3 e segue l’Esercizio Corpo Rigido 1. È pensato per studenti di Fisica 1, in particolare per chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 2

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia un sistema fisico composto da tre corpi rigidi omogenei: un disco di massa m_1 e raggio R, un’asta AB (prima asta) di massa m_2 e lunghezza d = 3R, una seconda asta di massa m_3 e lunghezza d, come rappresentato in figura 1. L ‘estremo A della prima asta coincide con il centro del disco, l’estremo B coincide con il centro della seconda asta. La seconda asta è disposta ortogonalmente rispetto alla prima asta, come si può dedurre dalla figura 1. Calcolare:

1) le coordinate del centro di massa nel sistema di riferimento Oxyz;

2) il momento d’inerzia I_{B} del sistema fisico in esame rispetto ad un asse passante per il punto B e ortogonale al piano xy.

Si consideri un nuovo sistema di riferimento fisso O^\prime x^\prime y^\prime tale per cui O^\prime\equiv B, l’asse y^\prime sia coincidente con la seconda asta e l’asse x^\prime\equiv x. Il disco e la prima asta in questa nuova configurazione ruotano con velocità angolare costante \vec{\omega} rispetto all’asse y^\prime. Nel nuovo sistema di riferimento, si calcoli:

3) la velocità del centro di massa v_{CM};

4) il modulo della quantità di moto totale \vec{P};

5) l’energia cinetica totale E e quella rispetto al centro di massa E^\prime.

 

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Configurazione di un sistema di tre corpi rigidi: un disco, una prima asta orizzontale fissata al disco in A e una seconda asta ortogonale alla prima, fissata nel punto B.

 

Richiami teorici.

Ricordiamo il teorema di K\ddot{o}nig per l’energia cinetica:

(1)   \begin{equation*} E_O = E^{\, \prime} + E_{CM} = E^{\, \prime} + \dfrac{1}{2}Mv_{CM}^2 \end{equation*}

dove M è la massa totale del sistema, E^\prime è L’energia cinetica rispetto al centro di massa e E_{CM} è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma dell’energia dovuto al moto del centro di massa sommato a quello del sistema rispetto al centro di massa.

Svolgimento Punto 1.

Scegliamo come sistema fisico il sistema composto dai 3 corpi rigidi e osserviamolo dal sistema di riferimento Oxy rappresentato in figura 1. Data la simmetria del problema rispetto l’asse x, si nota subito che il centro di massa di ciascun corpo ha componente y nulla. Partiamo dal disco, il suo centro di massa è il suo centro, in quanto la densità del disco è omogenea per ipotesi (questo vale per tutti i corpi di questo esercizio), la coordinata è quindi x_{CM,1} = R. Il centro di massa dell’asta AB risiede nel suo centro, che rispetto all’origine O si trova a x_{CM,2} = R+(3/2)R = (5/2)R. Il centro di massa dell’asta rappresenta in rosso in figura 1 si trova nel punto B, ovvero x_{CM,3}= R+3R = 4R. Sfruttando il fatto che la massa di ogni corpo rigido è distribuita in modo omogeneo possiamo calcolare il centro di massa come segue

(2)   \begin{equation*} x_{CM} = \dfrac{m_1 x_{CM,1}+m_2 x_{CM,2}+m_3 x_{CM,3}}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{m_1R+\dfrac{5}{2}m_2R+4m_3R}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{R\left(2m_1+5m_2+8m_3\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}. \end{equation*}

Si conclude che la posizione del centro di massa è

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_{CM}=\dfrac{R\left(2m_1+5m_2+8m_3\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}, \quad y_{CM} = 0.}\]

Svolgimento Punto 2.

Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse uscente dal punto B lo si calcola utilizzando il teorema di Huygens-Steiner

(3)   \begin{equation*} I_{1,B} ={1\over 2}m_1 R^2+m_1 d^2 = {1\over 2}m_1 R^2+ 9 m_1 R^2 = {19\over 2} m_1 R^2, \end{equation*}

dove m_1R^2/2 è il momento d’inerzia del disco rispetto al suo centro di massa e d è la distanza di questo punto dall’asse di rotazione passante per B. Anche il momento d’inerzia dell’asta AB lo si può calcolare utilizzando Huygens-Steiner

(4)   \begin{equation*} I_{2,B}= {1\over 12} m_2 d^2 + m_2\bigg({1\over 2} d\bigg)^2 = \dfrac{9}{12}m_2R^2+\dfrac{9}{4}m_2R^2=3 m_2 R^2; \end{equation*}

Il momento d’inerzia dell’ultima asta è semplicemente I_{3,B}=(1/12)m_3 d^2. Sommando tutti i momenti d’inerzia ottenuti dalle precedenti equazioni si ottiene

(5)   \begin{equation*} I_{B} = I_{1,B}+ I_{2,B}+ I_{3,B} = \bigg({19\over 2}m_1+ 3 m_2+{3\over 4}m_3\bigg)R^2, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{I_B =\bigg({19\over 2}m_1+ 3 m_2+{3\over 4}m_3\bigg)R^2.}\]

 

Svolgimento Punto 3.

In questo nuovo punto osserviamo il sistema fisico dei tre corpi rigidi dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Per calcolare la velocità del centro di massa dobbiamo conoscere la distanza del centro di massa rispetto al punto O^\prime che essendo il centro di rotazione risulta essere fermo. La distanza tra O e il punto B è pari a d+R, ne segue che la distanza del centro di massa rispetto al punto B è

    \[\begin{aligned} x_{CM,B}& = (d+R) - x_{CM} = (3R+R) -\dfrac{R\left(2m_1+5m_2+8m_3\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}=\\ &=\dfrac{8R\left(m_1+m_2+m_3\right)-R\left(2m_1+5m_2+8m_3\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}=\\ &=\dfrac{R\left(8m_1+8m_2+8m_3-2m_1-5m_2-8m_3\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}=\\ &=\dfrac{R\left(6m_1+3m_2\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}. \end{aligned}\]

Il sistema si muove rigidamente con velocità angolare costante rispetto all’asse y^\prime, pertanto il centro di massa si muoverà di moto circolare uniforme. Il centro della circonferenza è O^\prime e il suo raggio è x_{CM,B}; la velocità del centro di massa ha direzione tangente alla circonferenza e modulo v_{CM} pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_{CM} = x_{CM,B}\,\omega = \dfrac{R\left(6m_1+3m_2\right)}{2\left(m_1+m_2+m_3\right)}\,\omega.}\]

Svolgimento Punto 4.

Per definizione, la quantità di moto di un sistema rigido, corrispondente al caso in esame, è pari alla massa totale dello stesso moltiplicata per la velocità del suo centro di massa. Dunque, il modulo della quantità di moto è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ P = (m_1+m_2+m_3)\,v_{CM}= \dfrac{\omega R}{2} \left(6m_1+3m_2\right).}\]

Svolgimento Punto 5.

Ricordiamo che l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso può essere espressa come segue:

(6)   \begin{equation*} K=\dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2 \end{equation*}

dove \dot{\theta} è la velocità angolare del corpo rigido e I è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.

Pertanto nel nostro caso I=I_{B} e \dot{\theta}=\omega=\text{costante}, da cui (6) diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ E = {1\over 2}I_{B}\omega ^2={1\over 2}\omega^2 R^2\bigg({19\over 2}m_1+ 3 m_2+{3\over 4}m_3\bigg),}\]

cioè l’energia totale del sistema. Per calcolare l’energia cinetica rispetto al centro di massa è possibile utilizzare il teorema di König per l’energia cinetica\footnote{Ricordiamo il teorema di K\ddot{o}nig per l’energia cinetica:

(7)   \begin{equation*} E_O = E^{\, \prime} + E_{CM} = E^{\, \prime} + \dfrac{1}{2}Mv_{CM}^2 \end{equation*}

dove M è la massa totale del sistema, E^\prime è L’energia cinetica rispetto al centro di massa e E_{CM} è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma dell’energia dovuto al moto del centro di massa sommato a quello del sistema rispetto al centro di massa.} che mette in relazione l’energia cinetica totale E del sistema, l’energia cinetica del centro di massa E_{CM} e l’energia cinetica rispetto al centro di massa E^\prime ( ovvero quella che misurerebbe un osservatore posizionato nel sistema di riferimento del centro di massa), cioè

(8)   \begin{equation*} E = E_{CM} + E^\prime. \end{equation*}

L’energia cinetica del centro di massa è

(9)   \begin{equation*} \begin{aligned} E_{CM}&={1\over 2}(m_1+m_2+m_3)v_{CM}^2 =\\ &=\dfrac{\omega^2R^2}{8}\,\dfrac{\left(6m_1+3m_2\right)^2}{m_1+m_2+m_3}, \end{aligned} \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} E^\prime = E-E_{CM}={\omega^2 R^2\over 2}\bigg({19\over 2}m_1+ 3 m_2+{3\over 4}m_3\bigg)-\dfrac{\omega^2R^2}{8}\,\dfrac{\left(6m_1+3m_2\right)^2}{m_1+m_2+m_3}, \end{equation*}

in altri termini

    \[\boxcolorato{fisica}{E^\prime ={\omega^2 R^2\over 2}\left({19\over 2}m_1+ 3 m_2+{3\over 4}m_3-\dfrac{1}{4}\dfrac{\left(6m_1+3m_2\right)^2}{m_1+m_2+m_3}\right).}\]

 

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