Esercizio corpo rigido 19

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 19  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia un’asta rigida di lunghezza \ell e un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura. L’asta ha gli estremi vincolati a scorrere lungo l’asse x e lungo l’asse y. Dimostrare che il centro dell’asta descrive una circonferenza di raggio \ell/2 con la stessa velocità angolare dell’asta.
Nota. Assumere trascurabili tutti gli attriti e in figura \theta è l’angolo che forza l’asta con l’asse y e C sono le coordiante del centro di massa rispetto al sistema di riferimento 0xy e che all’iniziale è tutto in quiete .

 

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Svolgimento. All’istante iniziale è tutto in quiete e osserviamo che l’asta è soggetta alla forza peso m\vec{g}, che la farà muovere, inoltre l’asta è soggetta alle forse esterne \vec{N}_1 e \vec{N}_2 che sono le reazioni vincolari generate dal contatto tra l’asta e i piani di appoggio orizzontale e verticale (vedi figura 1).

 

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Parametrizziamo la posizione del centro di massa applicando le coordinate polari (vedi figura 2):

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(1)   \begin{equation*} \overline{\gamma}(\theta) = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \, \hat{x} + \dfrac{\ell}{2} \, \sin \theta \, \hat{y}, \qquad \mbox{con } \theta \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) \end{equation*}

Osserviamo che

    \[\begin{cases} x = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \\ \\ y = \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \end{cases}\]

soddisfa

    \[x^2+y^2=R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{4} (\cos^2 \theta- \sin^2\theta) = R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{2} = R^2 \Leftrightarrow R = \dfrac{\ell}{2}\]

che è proprio l’equazione di una circonferenza centrata nell’orgine (0,0) di raggio R=\dfrac{\ell}{2} (vedi figura 3).

Il seguente grafico evidenzia il risultato ottenuto

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Il centro di massa come detto si muove di moto circolare, quindi possiamo scrivere:

    \[v_{CM} = \omega\dfrac{\ell}{2}\]

dove \omega è la velocità angolare con il quale si muove il centro di massa.
Deriviamo (1)

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d\overline{\gamma}}{dt} (t) = \vec{v}(t) = -\dfrac{\ell}{2} \sin \theta \; \dot{\theta} \; \hat{x} + \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \; \dot{\theta} \; \hat{y} \end{equation*}

Calcoliamo il modulo di \vec{v}(t)

    \[\vert \vec{v}(t) \vert = v(t) = \sqrt{\dfrac{\ell^2}{4} \cos^2 \theta \; \dot{\theta}^2 + \dfrac{\ell^2}{4} \sin^2 \theta\; \dot{\theta}^2} = \dfrac{\ell}{2} \, \dot{\theta}\]

dove \omega=\dot{\theta} che è proprio la velocità angolare dell’asta.

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)