Esercizio corpo rigido 19

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Esercizio 19 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia un’asta rigida di lunghezza $\ell$ e un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come in figura. L’asta ha gli estremi vincolati a scorrere lungo l’asse $x$ e lungo l’asse $y$ . Dimostrare che il centro dell’asta descrive una circonferenza di raggio $\ell/2$ con la stessa velocità angolare dell’asta.
Nota. Assumere trascurabili tutti gli attriti e in figura $\theta$ è l’angolo che forza l’asta con l’asse $y$ e $C$ sono le coordiante del centro di massa rispetto al sistema di riferimento $0xy$ e che all’iniziale è tutto in quiete .

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Svolgimento. All’istante iniziale è tutto in quiete e osserviamo che l’asta è soggetta alla forza peso $m\vec{g}$ , che la farà muovere, inoltre l’asta è soggetta alle forse esterne $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ che sono le reazioni vincolari generate dal contatto tra l’asta e i piani di appoggio orizzontale e verticale (vedi figura 1).

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Parametrizziamo la posizione del centro di massa applicando le coordinate polari (vedi figura 2):

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(1) $\begin{equation*} \overline{\gamma}(\theta) = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \, \hat{x} + \dfrac{\ell}{2} \, \sin \theta \, \hat{y}, \qquad \mbox{con } \theta \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) \end{equation*}$

Osserviamo che

$\begin{cases} x = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \\ \\ y = \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \end{cases}$

soddisfa

$x^2+y^2=R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{4} (\cos^2 \theta- \sin^2\theta) = R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{2} = R^2 \Leftrightarrow R = \dfrac{\ell}{2}$

che è proprio l’equazione di una circonferenza centrata nell’orgine $(0,0)$ di raggio $R=\dfrac{\ell}{2}$ (vedi figura 3).

Il seguente grafico evidenzia il risultato ottenuto

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Il centro di massa come detto si muove di moto circolare, quindi possiamo scrivere:

$v_{CM} = \omega\dfrac{\ell}{2}$

dove $\omega$ è la velocità angolare con il quale si muove il centro di massa.
Deriviamo (1)

(2) $\begin{equation*} \dfrac{d\overline{\gamma}}{dt} (t) = \vec{v}(t) = -\dfrac{\ell}{2} \sin \theta \; \dot{\theta} \; \hat{x} + \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \; \dot{\theta} \; \hat{y} \end{equation*}$

Calcoliamo il modulo di $\vec{v}(t)$

$\vert \vec{v}(t) \vert = v(t) = \sqrt{\dfrac{\ell^2}{4} \cos^2 \theta \; \dot{\theta}^2 + \dfrac{\ell^2}{4} \sin^2 \theta\; \dot{\theta}^2} = \dfrac{\ell}{2} \, \dot{\theta}$

dove $\omega=\dot{\theta}$ che è proprio la velocità angolare dell’asta.

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).