Esercizio 19 
. Sia un’asta rigida di lunghezza 
e un sistema di riferimento fisso 
come in figura. L’asta ha gli estremi vincolati a scorrere lungo l’asse 
e lungo l’asse 
. Dimostrare che il centro dell’asta descrive una circonferenza di raggio 
con la stessa velocità angolare dell’asta.
Nota. Assumere trascurabili tutti gli attriti e in figura 
è l’angolo che forza l’asta con l’asse e 
sono le coordiante del centro di massa rispetto al sistema di riferimento 
e che all’iniziale è tutto in quiete .
Svolgimento.
, che la farà muovere, inoltre l’asta è soggetta alle forse esterne 
e 
che sono le reazioni vincolari generate dal contatto tra l’asta e i piani di appoggio orizzontale e verticale (vedi figura 1).
Parametrizziamo la posizione del centro di massa applicando le coordinate polari (vedi figura 2):
(1) 
Osserviamo che
![\[\begin{cases} x = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \\ \\ y = \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cbc0632f6eaf7f3a9ae4b6c21c45a58_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
soddisfa
![\[x^2+y^2=R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{4} (\cos^2 \theta- \sin^2\theta) = R^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ell^2}{2} = R^2 \Leftrightarrow R = \dfrac{\ell}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c795e73879192f40f7a15e283487680_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è proprio l’equazione di una circonferenza centrata nell’orgine 
di raggio 
(vedi figura 3).
Il seguente grafico evidenzia il risultato ottenuto
Il centro di massa come detto si muove di moto circolare, quindi possiamo scrivere:
![\[v_{CM} = \omega\dfrac{\ell}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e910449b7fb76d3c32c340d91c22905b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la velocità angolare con il quale si muove il centro di massa.
Deriviamo (1)
(2) 
Calcoliamo il modulo di 
![\[\vert \vec{v}(t) \vert = v(t) = \sqrt{\dfrac{\ell^2}{4} \cos^2 \theta \; \dot{\theta}^2 + \dfrac{\ell^2}{4} \sin^2 \theta\; \dot{\theta}^2} = \dfrac{\ell}{2} \, \dot{\theta}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-850654d331fec3c0f45dc4635bede764_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
che è proprio la velocità angolare dell’asta.
Fonte.
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