L’Esercizio Corpo Rigido 64 è il sessantaquattresimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 63 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 65. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.
Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.
Testo dell’Esercizio Corpo Rigido 64
Esercizio 64 . Un cilindro pieno e omogeneo, di raggio
, si trova in quiete e in posizione di equilibrio a contatto con la superficie interna di un contenitore fisso cilindrico vuoto internamente, di raggio
. Nell’istante
il rullo viene messo in moto. Si assuma che il cilindro rotoli senza strisciare sulla superficie del contenitore. Si determini:
- il modulo minimo
della velocità iniziale del centro di massa del rullo affinché questo arrivi nella posizione di massima quota senza staccarsi dalla superficie del contenitore;
- il valore minimo
del coefficiente di attrito statico per cui è possibile il puro rotolamento se la velocità iniziale del centro di massa del rullo ha modulo
.
Premessa.
Svolgimento Punto 1.
Sappiamo che il moto del cilindro di raggio è di puro rotolamento, pertanto la sua energia cinetica rispetto ad un asse passante per il punto di contatto con il cilindro di raggio
e perpendicolare al piano sul quale giace è puramente rotazionale, ovvero
(1)
dove è il momento d’inerzia del cilindro rispetto a tale asse e
è il modulo della velocità angolare del cilindrico in un generico istante
rispetto al centro di massa. Applicando il teorema di Huygens-Steiner rispetto a tale asse, si ha
(2)
da cui
(3)
Ricordando che la relazione tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare
è
, è possibile riscrivere l’energia cinetica come segue
(4)
Le forze esterne al cilindro sono la reazione vincolare e la forza di attrito statico
, rispettivamente normali e tangenti alla guida, ed entrambe applicate nel punto di contatto tra cilindro e contenitore cilindrico, e la forza peso
diretta nella direzione dell’asse delle
, e applicata nel centro di massa del cilindro. Tutte le forze sono rappresentate in figura 3.
Le forze e
fanno lavoro nullo e la forza peso
è conservativa. Dunque, si conserva l’energia meccanica totale del cilindro.
Siano
la velocità iniziale del centro di massa del cilindro,
la quota iniziale del centro di massa del cilindro,
la velocità finale del centro di massa del cilindro raggiunta la quota massima, e
la quota massima raggiunta dal centro di massa del cilindro. Inoltre, prendiamo il livello
come energia potenziale gravitazionale nulla. Di seguito, in figura 4, rappresentiamo la situazione nell’istante iniziale.
L’energia totale del cilindro nell’istante iniziale è
(5)
Di seguito in figura 5 rappresentiamo la situazione finale.
L’energia totale del cilindro nell’istante finale è
(6)
Per la conservazione dell’energia, si ha
(7)
(8)
(9)
(10)
Per la prima legge cardinale dei corpi rigidi abbiamo
(11)
dove è l’accelerazione del centro di massa del cilindro. Nella figura 3 abbiamo rappresentato l’angolo
che forma il segmento che congiunge il centro del cilindro vuoto con il centro di massa del cilindro pieno. Inoltre, sia
la distanza tra il centro del cilindro vuoto e il cilindro pieno. Riscriviamo l’accelerazione in coordinate polari, ottenendo
(12)
dove e
sono rispettivamente i versori nella direzione radiale e trasversa. Notiamo che
è costante, ed è pari ad
durante tutto il moto del cilindro; pertanto l’equazione (12) diventa
(13)
Scomponendo le forze nella direzione radiale e trasversa, abbiamo
(14)
(15)
Dalla figura 3 deduciamo che la posizione del centro di massa è
(16)
da cui
(17)
e quindi il modulo del centro di massa è
(18)
(19)
Inoltre, derivando ambo i membri della (19), otteniamo
(20)
Avvalendoci delle equazione (19) e (20), il sistema (15) può essere riscritto come
(21)
(22)
Quando il rullo si trova nel punto più alto si ha , da cui, il sistema (22) diventa
(23)
Di seguito, in figura 6, rappresentiamo il diagramma delle forze quando il cilindro si trova nel punto più alto della guida cilindrica.
Il problema richiede di determinare la velocità iniziale minima affinché il cilindro arrivi nel punto di massima quota, pertanto, nell’istante in cui il cilindro arriva nel punto di massa quota va imposta la condizione . L’equazione (23)
diventa
(24)
da cui
(25)
Sostituendo l’espressione determinata per nell’equazione (10), si trova
(26)
cioè
Svolgimento Punto 2.
(27)
La forza di attrito statico deve soddisfare
(28)
da cui, sfruttando l’equazione (27), abbiamo
(29)
Inoltre, utilizzando come polo il centro di massa del cilindro, ricaviamo dalla seconda equazione cardinale per i corpi rigidi
(30)
dove e
è l’accelerazione angolare rispetto al centro di massa; perciò abbiamo
(31)
Per la condizione di puro rotolamento sappiamo che , da cui, si ha
, e quindi l’equazione (31) diventa
(32)
(33)
Mettendo a sistema le equazioni (22) e (33), otteniamo
(34)
(35)
Consideriamo la situazione descritta in figura . Nell’istante generico
l’energia totale del sistema è
(36)
Per la conservazione dell’energia si ha
(37)
da cui
(38)
o anche
(39)
Sostituendo il valore di fornito dal testo, otteniamo
(40)
(41)
Sfruttando le equazioni (35) e (41), possiamo riscrivere la disequazione (29) come segue
La disequazione appena ottenuta è valida per ogni . Consideriamo la funzione
(42)
che ha come derivata
(43)
Poniamo
(44)
che ha come studio del segno il grafico rappresentato in figura 5.
Dallo studio del segno deduciamo che per il valore
è massimo. Sostituendo
nella relazione (42), otteniamo
(45)
conseguentemente
Osservazione. Consideriamo la situazione rappresenta in figura 6. Scegliamo come polo per il calcolo dei momenti esterni il punto di contatto tra cilindro piccolo e cilindro grande. È chiaro che, la somma dei momenti esterni risulta essere pari a zero, da cui, . Sfruttando l’equazione (31) si ha che
e quindi, a rigore, non andrebbe disegnata la forza di attrito statico nella figura 6, poiché è nulla.
Fonte.
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