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Esercizio corpo rigido 64

Dinamica del corpo rigido

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L’Esercizio Corpo Rigido 64 è il sessantaquattresimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 63 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 65. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo dell’Esercizio Corpo Rigido 64

Esercizio 64 (\bigstar \bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un cilindro pieno e omogeneo, di raggio r, si trova in quiete e in posizione di equilibrio a contatto con la superficie interna di un contenitore fisso cilindrico vuoto internamente, di raggio R. Nell’istante t=0 il rullo viene messo in moto. Si assuma che il cilindro rotoli senza strisciare sulla superficie del contenitore. Si determini:

  1. il modulo minimo v_{\min} della velocità iniziale del centro di massa del rullo affinché questo arrivi nella posizione di massima quota senza staccarsi dalla superficie del contenitore;
  2. il valore minimo \mu_{s,\min} del coefficiente di attrito statico per cui è possibile il puro rotolamento se la velocità iniziale del centro di massa del rullo ha modulo v_{i,\text{CM}}=\sqrt{6g(R-r)}.

 

 

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Figura 1: schema problema.

 

Premessa.

Nello svolgimento verranno usate le seguenti notazioni \dot{\theta}, \ddot{\theta}, \omega e \alpha. Le grandezze \dot{\theta} e \ddot{\theta}, sono rispettivamente la velocità angolare e l’accelerazione angolare del centro di massa del cilindro piccolo nel suo moto circolare, e \omega e \alpha, sono rispettivamente la velocità angolare e l’accelerazione angolare del cilindro piccolo nel suo moto di puro rotolamento. Si osservi che, rispetto al centro del cilindro grande il centro di massa del cilindro piccolo rimane sempre alla stessa distanza R-r; pertanto il centro di massa del cilindro piccolo si muove di moto circolare rispetto al centro del cilindro grande. Per esprimere la posizione del centro di massa del cilindro piccolo rispetto al centro della circonferenza grande abbiamo scelto di usare le coordinate polari, da cui, abbiamo espresso l’accelerazione del centro di massa in coordinate polari. È possibile, altrimenti, esprimere anche l’accelerazione in coordinate tangenziale e centripeta. Si ricordi che quando un corpo si muove di moto circolare l’accelerazione centripeta coincide con l’accelerazione radiale e l’accelerazione trasversa coincide con l’accelerazione tangenziale.

 


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