Scarica gli esercizi svolti
Ottieni il documento contenente 69 esercizi risolti, contenuti in 242 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della dinamica del corpo rigido.
Esercizio 57 . Un disco circolare omogeneo di massa , raggio e spessore costante è appoggiato su un piano orizzontale scabro sul quale rotola senza strisciare (moto di puro rotolamento). Il centro del disco è collegato, mediante una molla ideale di costante elastica e lunghezza a riposo trascurabile, a un punto dell’asse posto ad altezza dal piano di appoggio. All’istante il centro si trova sull’asse con velocità orizzontale . Si determini:
- l’istante in cui il disco si ferma per la prima volta;
- il valore minimo del coefficiente di attrito statico necessario affinché il disco rotoli senza strisciare.
Svolgimento Punto 1.
Studiamo le forze che agiscono sul sistema. Come si può osservare in figura 3, nel generico istante di tempo le forze esterne che agiscono sul disco sono la sua forza peso , la reazione vincolare generata dal piano di appoggio, la forza elastica della molla e la forza di attrito . Essendo quest’ultima l’unica forza in grado di produrre un momento esterno non nullo rispetto al centro , essa dovrà essere orientata nel verso negativo dell’asse in modo che il momento (esterno) da essa generato metta in rotazione il disco, facendolo ruotare in senso orario, come suggerisce la figura 2. Scegliendo come polo per il calcolo dei momenti esterni il centro del disco, dalla prima e seconda legge cardinale per i corpi rigidi, si ottiene
(1)
dove e sono rispettivamente l’elongazione orizzontale e verticale della molla e è il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, che nel caso di un disco omogeneo risulta essere . Inoltre, sfruttando l’ipotesi di puro rotolamento, sappiamo che il centro di massa si muove con accelerazione rispetto al punto di contatto con il piano di appoggio, istantaneamente fermo rispetto al sistema di riferimento ; otteniamo quindi che . Dall’equazione (1), con semplici passaggi, otteniamo
(2)
A questo punto, sostituiamo l’espressione trovata per (definita nella (2)) nell’equazione (1), ottenendo
(3)
con . Abbiamo quindi trovato che il sistema è un oscillatore armonico semplice, unidimensionale (lungo la direzione ), il cui moto è centrato in . Dalla cinematica del moto armonico, segue che la velocità del corpo è istantaneamente nulla nel punto di massima elongazione della molla, che viene raggiunto dal disco in un tempo pari a un quarto del periodo del moto. Si ha dunque (si ricordi che )
(4)
da cui
Svolgimento Punto 2.
(5)
La soluzione dell’equazione differenziale (5)(3) è del tipo
(6)
con e costanti da determinare; derivando ambo i membri dell’equazione (6) si ottiene
(7)
Sostituendo nell’equazione (6) e nell’equazione (7), e sfruttando le condizioni iniziali , , si ottiene il seguente sistema
(8)
da cui si ottiene e . La legge del moto del centro di massa del disco è dunque
(9)
Andiamo ora a studiare il sistema quando la molla è alla sua massima elongazione, ossia per .
Prima di applicare le due leggi cardinali per i corpi rigidi è importante notare che nell’istante in cui si ferma il disco, la forza di attrito statico invertirà istantaneamente la propria direzione, come in figura 4. La forza di attrito statico inverte la propria direzione perché il disco inverte il proprio moto muovendosi nella direzione opposta. In questa configurazione, per le due leggi cardinali, si ha
(10)
Essendo un moto armonico si ha
(11)
da cui, sfruttando l’equazione (10), si ottiene
(12)
Sappiamo inoltre che , da cui deduciamo che
(13)
Sostituendo nella (13) le espressioni di trovata in (12) e trovata nella (10), si ottiene
(14)
ossia
Si osservi che ai fini del secondo punto del problema non è stato necessario usare la prima equazione cardinale per i corpi rigidi, ovvero (10) .
Approfondimento.
(15)
Si osservi che il membro di destra dell’equazione (15) è stato posto negativo perché nell’istante in cui il disco inverte il proprio moto l’accelerazione è minima, in altri termini . Svolgendo i calcoli si ottiene
(16)
Sostituendo e (definiti in (16)) in (13), si ottiene
(17)
o anche
(18)
come ottenuto in precedenza.
Osserviamo l’importanza di aver notato che la forza di attrito statico inverte il proprio verso nell’istante in cui il disco si ferma.
Fonte.
Esercizi di Meccanica classica
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi..
- Cinematica del punto materiale.
- Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
- Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
- Moti relativi.
- Sistemi di punti materiali.
- Dinamica del corpo rigido.
- Urti .
- Gravitazione .
- Oscillazioni e onde.
- Meccanica dei fluidi.
- Onde meccaniche.
- Statica in meccanica classica.
- Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
- Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.
Tutti gli esercizi di elettromagnetismo
Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di
Leggi...
- Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
- Esercizi sulla legge di Gauss.
- Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
- Esercizi sulla corrente elettrica.
- Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
- Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
- Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
- Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
- Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
- Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
- Esercizi sull’ ottica geometrica.
- Esercizi sull’ interferenza.
- Esercizi sulla diffrazione.
- Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.
Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.
Esercizi di Meccanica razionale
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi...