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Esercizio 56 . Due cilindri, aventi rispettivamente raggi e e momenti d’inerzia e , sono sostenuti da assi fissi perpendicolari al piano come mostrato in figura. Il cilindro grande ruota inizialmente con velocità angolare , mentre quello piccolo si sposta verso destra finchè, giunto a contatto con quello grande, viene posto in rotazione per attrito. Cessata la fase di slittamento i cilindri ruotano con velocità costante in verso opposto.
Esprimere la velocità angolare finale in funzione di e .
Richiami teorici.
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne, è la quantità di moto totale del sistema, è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, è la velocità del centro di massa ed infine è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo . Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo
quindi (1) diventa
(2)
Se il corpo rigido ha massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione, allora (2) può essere riscritta come segue
(3)
dove è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e è l’accelerazione angolare.
Svolgimento.
(4)
dove è l’accelerazione angolare di nonché la derivata rispetto al tempo della velocità angolare , mentre è l’accelerazione angolare di , similarmente a prima è la derivata rispetto al tempo della velocità angolare . Il segno meno nella (4) sta ad indicare che rallenta perchè sottoposta alla decelazione . Si vuole far notare che è una forza di cui non sappiamo la natura, quindi nel caso più generale possibile è una funzione del tempo. Facendo il rapporto tra (4) e (4) otteniamo
(5)
e quest’ultima puo’ essere riscritta come
Integriamo ora tra l’istante e che è l’istante in cui il moto diventa di puro rotolamento:
(6)
Dal momento che il moto diventa di puro rotolamento, vale la seguente relazione
quindi sostituendo in (6) abbiamo
da cui concludiamo che
1. l principio di azione e reazione afferma che ad ogni reazione corrisponde una reazione uguale ed opposta, agente sulla stessa retta di applicazione. ↩
Fonte.
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