Esercizio corpo rigido 56

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 56  (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due cilindri, aventi rispettivamente raggi R_1 e R_2 e momenti d’inerzia I_1 e I_2, sono sostenuti da assi fissi perpendicolari al piano come mostrato in figura. Il cilindro grande ruota inizialmente con velocità angolare \omega_0, mentre quello piccolo si sposta verso destra finchè, giunto a contatto con quello grande, viene posto in rotazione per attrito. Cessata la fase di slittamento i cilindri ruotano con velocità costante in verso opposto.
Esprimere la velocità angolare finale \omega_2 in funzione di R_1, R_2, I_1, I_2 e \omega_0.

 

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Richiami teorici. 

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_{O^\prime} è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime.
Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo

    \[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},\]

quindi (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{cases} \end{equation*}

Se il corpo rigido ha massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione, allora (2) può essere riscritta come segue

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=m\vec{a}_{CM}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}=I\vec{\alpha}, \end{cases} \end{equation*}

dove I è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e \alpha è l’accelerazione angolare.

 

Svolgimento. Chiamiamo C_1 il cilindro con momento d’inerzia I_1 e C_2 il cilindro con il momento d’inerzia I_2 rispetto ai propri centri di massa. I momenti d’inerzia sono considerati ovviamente rispetto all’asse passante per il proprio centro di massa. Inizialmente C_1 ruota con velocità angolare \omega_0 e C_2 è in quiete, C_2 viene successivamente spostato e messo a contatto con C_1 interagendo con C_2 tramite una forza di attrito \vec{f}.
Inizialmente, dopo il contatto, i due cilindri rotolano e strisciano, fino a che ad un certo istante il moto diviene di puro rotolamento e le velocità periferiche sono uguali rispetto ad un sistema di riferimento fisso. I due cilindri, C_1 e C_2, sono vincolati a rimanere a contatto, quindi non si ha la conservazione del momento angolare. Sul punto di contatto dei due dischi è presente una forza di attrito \vec{f}. Per il principio di azione e reazionei[1], le forze di attrito generate sono applicate entrambe sul punto di contatto dei cilindri e sono tangenti ad ambo le circonferenze; in particolare, su C_1 è applicata ad una distanza R_1 dal suo centro di massa che tramite un momento frenante produce un rallentamento, mentre su C_2 è applicata ad una distanza R_2 dal centro del disco e tramite un momento produce un aumento della sua velocità angolare. Per il calcolo dei momenti, per entrambi scegliamo come polo il loro centro di massa ed osserviamo che è un polo fisso. Applichiamo (3) ottenendo

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} f R_2 = I_2 \alpha_2\\ f R_1 = - I_1 \alpha_1 \end{cases}, \end{equation*}

dove \alpha_1=d\omega_1/dt è l’accelerazione angolare di C_1 nonché la derivata rispetto al tempo della velocità angolare \omega_1, mentre \alpha_2=d\omega_2/dt è l’accelerazione angolare di C_2, similarmente a prima è la derivata rispetto al tempo della velocità angolare \alpha_2=d\omega_2/dt. Il segno meno nella (4)_2 sta ad indicare che C_2 rallenta perchè sottoposta alla decelazione \alpha_2. Si vuole far notare che f è una forza di cui non sappiamo la natura, quindi nel caso più generale possibile è una funzione del tempo.
Facendo il rapporto tra (4)_2 e (4)_1 otteniamo

(5)   \begin{equation*} \dfrac{R_2}{R_1} = - \dfrac{I_2 \alpha_2}{I_1 \alpha_1} \end{equation*}

e quest’ultima puo’ essere riscritta come

    \[\dfrac{R_2}{R_1} d\omega_1 =-\dfrac{I_2}{I_1} d\omega_2\]

Integriamo ora tra l’istante t=0 e t=t^\star>0 che è l’istante in cui il moto diventa di puro rotolamento:

(6)   \begin{equation*} \dfrac{R_2}{R_1} (\omega_1-\omega_0)= -\dfrac{I_2}{I_1} \omega_2. \end{equation*}

Dal momento che il moto diventa di puro rotolamento, vale la seguente relazione

    \[\omega_1 \; R_1 = \omega_2 \; R_2\quad \Leftrightarrow \quad\omega_1 = \dfrac{\omega_2 \; R_2}{R_1},\]

quindi sostituendo \omega_1 in (6) abbiamo

    \[\dfrac{R_2}{R_1} \left(\dfrac{\omega_2 \; R_2}{R_1}-\omega_0\right)= -\dfrac{I_2}{I_1} \omega_2 \quad \Leftrightarrow\quad \omega_2 \left( \dfrac{R_2^2}{R_1^2} + \dfrac{I_2}{I_1} \right) = \dfrac{R_2}{R_1} \omega_0\]

da cui concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_2 = \dfrac{R_1 R_2 I_1 \omega_0}{R_2^2\, I_1 + R_1^2 \, I_2}. }\]

 

1. l principio di azione e reazione afferma che ad ogni reazione corrisponde una reazione uguale ed opposta, agente sulla stessa retta di applicazione.

 

Fonte: David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Seconda edizione, Zanichelli.