L’Esercizio Corpo Rigido 47 è il quarantasettesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 46 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 48. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.
Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.
Testo esercizio corpo rigido 47
Esercizio 47 . Un ingranaggio è costituito da due ruote dentate omogenee
e
, di spessore trascurabile e disposte nello stesso piano verticale (vedi figura 1);
e
possono ruotare intorno a due assi orizzontali passanti per i centri
e
. Le dimensioni dei denti dell’ingranaggio sono piccole e il contatto tra le due ruote può approssimarsi come puntiforme. I raggi di
e
sono rispettivamente
e
, mentre le masse sono
e
. Un filo inestensibile di massa trascurabile è avvolto sulla periferia di un disco omogeneo, di raggio
e massa
, saldato alla ruota
e concentrico a essa (vedi figura 1); all’estremità libera del filo è appeso un corpo
, di massa
. Nel punto
, intersezione con il bordo esterno di
della retta congiungente i centri
e
, è applicata una forza costante
, tangente al disco e rivolta verso l’alto. Si determini:
1) il modulo di necessario affinché l’ingranaggio resti in quiete;
2) le componenti verticali e
delle corrispondenti reazioni sviluppate dagli assi intorno ai quali ruotano
e
.
A un certo istante si annulla la forza e l’ingranaggio si mette in movimento; si determini corrispondentemente:
3) il modulo dell’accelerazione angolare della ruota ;
4) le componenti verticali delle reazioni sviluppate dagli assi di rotazione di e
.
Svolgimento Punto 1.
Analizziamo le forze esterne agenti su . Sulla ruota
agisce la sua forza peso
, la reazione vincolare
dovuta al vincolo, la forza
e la forza di contatto
con il corpo
. Osserviamo che, poiché per ipotesi il sistema è in quiete, la forza di contatto dovrà generare un momento esterno rispetto al centro di massa
tale da opporsi al momento meccanico generato dalla forza
, dunque si deduce che
debba essere rivolta nel verso positivo dell’asse
.
Sul sistema formato dalla ruota
, dal disco di massa
e dal filo inestensibile di massa trascurabile, agiscono la forza peso
, ossia la somma tra la forza peso di
e la forza peso del disco saldato ad essa, la reazione vincolare
dovuta al vincolo, la tensione
a cui è sottoposto il filo, e la forza di contatto con il corpo
, che per il terzo principio della dinamica deve essere pari a
. Inoltre, sul corpo
agiscono la sua forza peso
e la tensione del filo
, come mostra la figura 2. Poiché per ipotesi tutto è in quiete, dobbiamo imporre che la somma delle forze esterne e dei momenti esterni che agiscono singoli dischi sia nulla. Per il disco
scegliamo come polo per i calcoli dei momenti esterni il polo
, mentre per il disco
scegliamo come polo per il calcolo dei momenti esterni
. Dunque, applicando la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi su
e su
, e imponendo la somma delle forze agenti su
sia nulla, si ottiene
(1)
Sostituendo (ottenuta dalla (1)
) nella (1)
, otteniamo
(2)
da cui
Svolgimento Punto 3.
(3)
Si osservi che siccome ruota in senso orario si ha
(velocità angolare di
in un generico istante) e siccome
ruota in senso antiorario
(velocità angolare di
in un generico istante). Pertanto, per quanto detto, nel passaggio di derivazione ad ambo i membri della (4) è necessario inserire un meno al membro destro dell’equazione (4). Dunque, deriviamo ambo i membri della (3), si ottiene
(4)
e infine, derivando nuovamente ambo i membri della (4), si ha
(5)
Applicando la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi al il disco e
, si ottiene
(6)
Applicando la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi al il disco , si ottiene
(7)
Infine, applicando la seconda legge della dinamica, al corpo , si ha
(8)
Mettendo a sistema tutte le equazioni dei sistemi (6), (7) e l’equazione (8), si ottiene
(9)
Notiamo che . Inoltre, sfruttando 5, il sistema (9) diventa
(10)
Sostituendo (definita in (10)
) e
(definita in (10)
) nell’equazione (10)
, si ottiene
(11)
da cui
(12)
ovvero
o anche
cioè
Svolgimento Punto 4.
(13)
(14)
Sostituendo e
(definite rispettivamente nell’equazione (13) e nell’equazione (14)) nella (10)
, otteniamo
(15)
cioè
Inoltre, sostituendo (definite nell’equazione (13)) nella (10)
, si trova
(16)
cioè
Fonte.
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