Esercizio 46 . Il centro
di una sbarra sottile e uniforme, di massa
e lunghezza
, è rigidamente fissato a un asse verticale
e forma con tale asse un angolo fisso pari a
. Il sistema ruota senza attrito intorno all’asse in senso antiorario con velocità angolare
costante (in modo che il vettore
giaccia lungo l’asse). Si calcolino modulo, direzione e verso del momento angolare del sistema, assumendo come polo il punto
.
Svolgimento. Per risolvere questo problema, definiamo un sistema di riferimento con l’asse
coincidente con l’asse
, e tale per cui gli assi
e
ruotino con l’asta, ovvero che l’asta si trovi istante per istante nel piano
, come in figura 2. In questo sistema di riferimento, chiamiamo
e
rispettivamente il raggio vettore che determina la posizione di un generico punto della sbarra rispetto all’origine nel piano superiore e nel piano inferiore, come mostrato in figura 2.
Si ha
(1)
e
(2)
Inoltre, poiché per ipotesi il sistema sta ruotando rigidamente intorno all’asse , la velocità angolare della sbarra è diretta nel verso positivo dell’asse
e dunque
. Consideriamo un punto materiale infinitesimo
descritto dal raggio vettore
e un punto materiale infinitesimo
descritto dal raggio vettore
. la velocità di
è
(3)
mentre la velocità di è
(4)
dove è il versore che indica la direzione dell’asse
, perpendicolare al piano
. A questo punto è possibile calcolare il momento angolare rispetto al polo
: sappiamo infatti che il momento angolare di un punto materiale rispetto a un polo è uguale al prodotto vettoriale tra la sua posizione rispetto a tale polo e la sua quantità di moto.
Abbiamo dunque
(5)
(6)
dove e
, con
densità lineare dell’asta. Sfruttando questo risultato e sfruttando la bilinearità del prodotto vettoriale, possiamo riscrivere la (5) come
(7)
e la (6) come
(8)
Poniamo . Inoltre, sappiamo che la sbarra è uniforme; questo ci permette di concludere che
, ossia che
(9)
Nel caso in esame, possiamo considerare la sbarra come un insieme infinito di punti materiali di massa infinitesima . Pertanto, per ricavare il momento angolare complessivo dell’asta, sommiamo gli infiniti contributi degli elementi
al momento angolare; sfruttando la simmetria del sistema, possiamo scrivere
(10)
(11)
da cui si ottiene
Per trovare il modulo del momento angolare basta sommare in quadratura le sue componenti, dunque avremo
(12)
da cui, ricordando l’identità fondamentale della trigonometria, otteniamo
Osservazione. Si osservi che e
non sono paralleli. Se
,
, e si avrebbe
(13)
dove .