Esercizio corpo rigido 45

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Esercizio 45 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un sistema di due corpi rigidi è costituito da una piattaforma circolare (di massa $m_1$ e raggio $R$ ) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale, passante per il suo centro e fissato al suolo, e da un disco (di massa $m_2$ e raggio $r$ ) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro e fissato alla piattaforma, a distanza $d$ dal centro di quest’ultima. Le direzioni degli assi di rotazione sono fisse.
Si consideri in primo luogo il seguente stato iniziale: la piattaforma è ferma e il disco ruota con velocità angolare $\omega _0$ . Tra la piattaforma e il disco agisce una forza di attrito radente per cui dopo un certo tempo il disco non ruota più rispetto alla piattaforma. Calcolare

il valore finale del momento angolare del sistema;
la variazione di energia cinetica del sistema.
Si consideri successivamente un diverso stato iniziale, in cui sia la piattaforma che il disco sono fermi, e si assuma che tra disco e piattaforma non ci sia nessun attrito. Con un motore si porta la velocità angolare della piattaforma al valore $\Omega$ . Calcolare il lavoro fornito dal motore.

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Svolgimento. All’istante $t=0$ la piattaforma circolare è in quiete e il disco ruota con velocità angolare $\omega_0$ rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace. Tra la piattaforma e il disco è presente un attrito radente che, per il terzo principio della dinamica tra i due corpi, sarà uguale e opposto e tale da creare sul disco e sulla piattaforma un momento che, istante per istante, farà rallentare il disco e aumentare la velocità angolare della piattaforma; la piattaforma descriverà un moto circolare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano orizzontale sul quale essa giace poichè vincolata a ruotare rispetto ad esso. Nel ruotare, la piattaforma si porta dietro il disco il quale continuerà a ruotare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace e farà un orbita circolare rispetto al centro di massa della piattaforma circolare.
Per descrivere tale situazione scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , un sistema riferimento non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime$ solidale con la piattaforma circolare e un secondo sistema di riferimento non inerziale solidale con il disco $O^{\prime \prime}x^{\prime \prime}y^{\prime \prime}z^{\prime \prime}$ dove $O^{\prime}$ coincide con il centro della piattaforma circolare e $O^{\prime\prime}$ coincide con il centro del disco.
In figura 1 rappresentiamo il sistema all’istante $t=0$ .

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All’istante $t=0$ abbiamo $y \parallel y^\prime(0) \parallel y^{\prime \prime}(0)$ e $x \equiv x(0) \equiv x^\prime(0)$ .
Rappresentiamo in figura 2 il moto della piattaforma e del disco in un generico istante $t$ .

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Ricordiamo il teorema di König per il momento angolare:

(1) $\begin{equation*} \vec{L}_O = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{CM}\,} = \vec{L}^{\, \prime}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \vec{v}_{CM}, \end{equation*}$

dove $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, ${\vec{L}_{CM}}$ è il momento angolare del centro di massa, $\vec{L}^{\, \prime}$ è il momento angolare rispetto al centro di massa e $M$ è la massa totale del sistema, Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento del sistema rispetto al centro di massa.
All’istante $t=0$ la piattaforma circolare è ferma e il disco ruota rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace il disco, quindi, essendo $v_{CM}(0)=0$ , (1) diventa

$L = L^\prime = I_{CM} \omega_0 = \dfrac{1}{2} m_2 r^2 \omega_0.$

Vogliamo adesso dimostrare che nel nostro sistema si conserva il momento angolare rispetto al polo $O^\prime$ . per fare questo, ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(2) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -M \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}$

dove ${\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni, $\vec{v}_O$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O$ .
Se la somma di tutti i momenti esterni è nulla, (2) diventa

(3) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} \end{equation*}$

e nella condizione in cui

(4) $\begin{equation*} \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}, \end{equation*}$

si conserva il momento angolare:

$\dfrac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{0}.$

La condizione (4) avviene solo quando una delle seguenti è verificata

$\vec{v}_{CM}=\vec{0}$ ;
$\vec{v}_{O}=\vec{0}$ ;
$O \equiv CM$ ;
$\vec{v}_{CM} \parallel \vec{v}_{0}$ .

Nel nostro caso osserviamo che se scegliamo come polo $O^\prime$ , rispetto a tale polo la somma di tutti i momenti esterni risulta nulla, ed essendo il polo fisso, quindi $\vec{v}_{O^\prime}=\vec{0}$ il momento angolare del sistema si conserva, ed è pari ad

$\boxcolorato{fisica}{L = \dfrac{1}{2} m_2 r^2 \omega_0.}$

Chiamiamo $t=t^*$ l’istante di tempo in cui il disco smetterà di ruotare rispetto al proprio asse e si muoverà con la piattaforma circolare descrivendo un’orbita circolare rispetto al centro della piattaforma (da quell’istante in poi il disco farà un moto traslatorio secondo un’orbita circolare e non ruoterà più rispetto al proprio asse).
Determiniamo la velocità angolare in tale istante $\omega(t^*)\equiv\omega_f$ . Imponendo la conservazione del momento angolare si ha

(5) $\begin{equation*} L_0=L_f, \end{equation*}$

dove $L_0=\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0$ e $L_f$ è il momento angolare nell’istante $t=t^*$ . In tale istante, $t=t^*$ , il sistema ruota rispetto ad $O^\prime$ e quindi (1) può essere riscritta come segue:

$\begin{aligned} \vec{L}_O & = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{CM}\,} = \vec{L}^{\, \prime}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \vec{v}_{CM}=\\ &=I_{CM}\vec{\omega}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \left(\vec{r}_{CM}\wedge\vec{\omega} \right)=\\ &=I_{CM}\vec{\omega}+M\,r^2_{CM}\vec{\omega}=(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\vec{\omega}, \end{aligned}$

da cui

(6) $\begin{equation*} \vec{L}_O =(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\vec{\omega}. \end{equation*}$

Applicando (6), nell’istante $t=t^*$ , abbiamo che

$L_f=(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\omega_f=\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2 \right) \omega_f.$

Sostituendo $L_0$ e $L_f$ in (5) otteniamo

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0=\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\omega_f\quad \Leftrightarrow\quad \\ &\Leftrightarrow\quad\omega_f=\dfrac{\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0}{\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)}=\dfrac{\omega_0}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}<\omega_0. \end{aligned}$

Alternativamente potevamo applicare direttamente (1), calcolandoci la posizione del centro di massa e la velocità del centro di massa, rispetto al polo $O^{\prime}$ che sono

$r_{CM}=\dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\quad \text{e} \quad v_{CM}=\omega_fr_{CM},$

da cui

$\begin{aligned} &L_f=L^\prime+L_{CM}=I_{CM}\omega_f+(m_1+m_2)r_{CM}v_{CM}=\\ &=\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2\left(d-\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2+m_1\left(\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2 \right)\omega_f+(m_1+m_2)\left( \dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\right)^2\omega_f=\\ &=\omega_f\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2\left(d-\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2+m_1\left(\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2 +(m_1+m_2)\left( \dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\right)^2\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+\dfrac{m_2m^2_1d^2+m_1m^2_2d^2+m_1m^2_2d^2+m^3_2d^2}{(m_1+m_2)^2}\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\dfrac{(m_1+m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\\ \end{aligned}$

ed imponendo la conservazione del momento angolare giungiamo allo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Ricordiamo il teorema di Huygens-Steiner: il momento d’inerzia di un corpo di massa $M$ rispetto ad un asse che si trova ad una distanza $k$ dal centro di massa del corpo è dato da

(7) $\begin{equation*} I=I_{CM} + M k^2, \end{equation*}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Combinando (1) con (7), l’energia totale di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse che si trova ad una distanza $k$ dal centro di massa del corpo è data da6

$\begin{aligned} E_t & = \dfrac{1}{2} I \omega^2 = \dfrac{1}{2} \left(Mk^2+I_{CM}\right) \omega^2 = \\ & = \dfrac{1}{2} M k^2 \omega^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 = \dfrac{1}{2} M v_{CM}^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 \end{aligned}$

da cui

(8) $\begin{equation*} E_t=\dfrac{1}{2} M v_{CM}^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 \end{equation*}$

ed applicando (8), nell’istante $t=t^*$ , abbiamo che

$E_t(t^*)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right) \omega^2_f.$

Tenendo conto che l’energia inziale del sistema era puramente rotazionale, ovvero per il disco che ruotava rispetto al proprio asse, abbiamo che

$E_i=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_2r^2 \right) \omega^2_0,$

Facendo la differenza tra le due possiamo determinare la differenza di energia cinetica nonché il lavoro delle forze di attrito:

$\begin{aligned} &E_t(t^*)-E_i=\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0}{\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2} \right)^2-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_2r^2\right)\omega^2_0=\\ &=\dfrac{1}{2} \; \dfrac{\dfrac{1}{4}m^2_2r^4\omega^2_0}{\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_2r^2\right)\omega^2_0=\\ &=\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(\dfrac{m_2r^2}{m_1R^2+m_2r^2+2m_2d^2}-1\right)=\\ &=\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}-1\right)=\\ &=-\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}\right)<0. \end{aligned}$

Per il terzo punto del problema dobbiamo supporre che all’istante $t=0$ sia tutto in quiete e tramite un motore esterno il sistema sia portato a ruotare con una velocità angolare $\Omega$ ; tra disco e piattaforma non c’è attrito, quindi stavolta il disco si muoverà di moto traslatorio facendo un’orbita circolare rispetto ad $O^{\prime}$ ma non ruoterà rispetto al proprio asse (vedi figura 3).

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L’energia inerziale del sistema è nulla poiché tutto è in quiete, mentre l’energia finale può essere espressa secondo (8) come segue:

$E_f=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2 \right) \Omega^2.$

Facendo la differenza tra le due energie si ottiene il lavoro fatto dal motore

$\text{Lavoro motore}=E_f-E_i=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\Omega^2.$

Diseguito un riassunto con tutti i risultati trovati.

se scegliamo come polo il centro della piattaforma circolare, il momento angolare si conserva ed è pari a $L=\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0.$
La variazione di energia cinetica del sistema è
$\Delta E=-\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}\right)<0.$
Il lavoro del motore è
$E_f-E_i=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\Omega^2.$

Niccolò Cocciaglia

22/08/2023

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