Esercizio corpo rigido 45

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 45   (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un sistema di due corpi rigidi è costituito da una piattaforma circolare (di massa m_1 e raggio R) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale, passante per il suo centro e fissato al suolo, e da un disco (di massa m_2 e raggio r) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro e fissato alla piattaforma, a distanza d dal centro di quest’ultima. Le direzioni degli assi di rotazione sono fisse.
Si consideri in primo luogo il seguente stato iniziale: la piattaforma è ferma e il disco ruota con velocità angolare \omega _0. Tra la piattaforma e il disco agisce una forza di attrito radente per cui dopo un certo tempo il disco non ruota più rispetto alla piattaforma. Calcolare

  1. il valore finale del momento angolare del sistema;
  2. la variazione di energia cinetica del sistema.
  3. Si consideri successivamente un diverso stato iniziale, in cui sia la piattaforma che il disco sono fermi, e si assuma che tra disco e piattaforma non ci sia nessun attrito. Con un motore si porta la velocità angolare della piattaforma al valore \Omega. Calcolare il lavoro fornito dal motore.

 

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Svolgimento.  All’istante t=0 la piattaforma circolare è in quiete e il disco ruota con velocità angolare \omega_0 rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace. Tra la piattaforma e il disco è presente un attrito radente che, per il terzo principio della dinamica tra i due corpi, sarà uguale e opposto e tale da creare sul disco e sulla piattaforma un momento che, istante per istante, farà rallentare il disco e aumentare la velocità angolare della piattaforma; la piattaforma descriverà un moto circolare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano orizzontale sul quale essa giace poichè vincolata a ruotare rispetto ad esso. Nel ruotare, la piattaforma si porta dietro il disco il quale continuerà a ruotare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace e farà un orbita circolare rispetto al centro di massa della piattaforma circolare.
Per descrivere tale situazione scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxyz, un sistema riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime solidale con la piattaforma circolare e un secondo sistema di riferimento non inerziale solidale con il disco O^{\prime \prime}x^{\prime \prime}y^{\prime \prime}z^{\prime \prime} dove O^{\prime} coincide con il centro della piattaforma circolare e O^{\prime\prime} coincide con il centro del disco.
In figura 1 rappresentiamo il sistema all’istante t=0.

 

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All’istante t=0 abbiamo y \parallel y^\prime(0) \parallel y^{\prime \prime}(0) e x \equiv x(0) \equiv x^\prime(0).
Rappresentiamo in figura 2 il moto della piattaforma e del disco in un generico istante t.

 

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Ricordiamo il teorema di König per il momento angolare:

(1)   \begin{equation*} \vec{L}_O = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{CM}\,} = \vec{L}^{\, \prime}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \vec{v}_{CM}, \end{equation*}

dove \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, {\vec{L}_{CM}} è il momento angolare del centro di massa, \vec{L}^{\, \prime} è il momento angolare rispetto al centro di massa e M è la massa totale del sistema, Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento del sistema rispetto al centro di massa.
All’istante t=0 la piattaforma circolare è ferma e il disco ruota rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace il disco, quindi, essendo v_{CM}(0)=0, (1) diventa

    \[L = L^\prime = I_{CM} \omega_0 = \dfrac{1}{2} m_2 r^2 \omega_0.\]

Vogliamo adesso dimostrare che nel nostro sistema si conserva il momento angolare rispetto al polo O^\prime. per fare questo, ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(2)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -M \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}

dove {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.
Se la somma di tutti i momenti esterni è nulla, (2) diventa

(3)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} \end{equation*}

e nella condizione in cui

(4)   \begin{equation*} \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}, \end{equation*}

si conserva il momento angolare:

    \[\dfrac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{0}.\]

La condizione (4) avviene solo quando una delle seguenti è verificata

  1. \vec{v}_{CM}=\vec{0};
  2. \vec{v}_{O}=\vec{0};
  3. O \equiv CM;
  4. \vec{v}_{CM} \parallel \vec{v}_{0}.

Nel nostro caso osserviamo che se scegliamo come polo O^\prime, rispetto a tale polo la somma di tutti i momenti esterni risulta nulla, ed essendo il polo fisso, quindi \vec{v}_{O^\prime}=\vec{0} il momento angolare del sistema si conserva, ed è pari ad

    \[\boxcolorato{fisica}{L = \dfrac{1}{2} m_2 r^2 \omega_0.}\]

Chiamiamo t=t^* l’istante di tempo in cui il disco smetterà di ruotare rispetto al proprio asse e si muoverà con la piattaforma circolare descrivendo un’orbita circolare rispetto al centro della piattaforma (da quell’istante in poi il disco farà un moto traslatorio secondo un’orbita circolare e non ruoterà più rispetto al proprio asse).
Determiniamo la velocità angolare in tale istante \omega(t^*)\equiv\omega_f. Imponendo la conservazione del momento angolare si ha

(5)   \begin{equation*} L_0=L_f, \end{equation*}

dove L_0=\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0 e L_f è il momento angolare nell’istante t=t^*. In tale istante, t=t^*, il sistema ruota rispetto ad O^\prime e quindi (1) può essere riscritta come segue:

    \[\begin{aligned} \vec{L}_O & = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{CM}\,} = \vec{L}^{\, \prime}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \vec{v}_{CM}=\\ &=I_{CM}\vec{\omega}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \left(\vec{r}_{CM}\wedge\vec{\omega} \right)=\\ &=I_{CM}\vec{\omega}+M\,r^2_{CM}\vec{\omega}=(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\vec{\omega}, \end{aligned}\]

da cui

(6)   \begin{equation*} \vec{L}_O =(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\vec{\omega}. \end{equation*}

Applicando (6), nell’istante t=t^*, abbiamo che

    \[L_f=(I_{CM}+M\,r^2_{CM})\omega_f=\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2 \right) \omega_f.\]

Sostituendo L_0 e L_f in (5) otteniamo

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0=\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\omega_f\quad \Leftrightarrow\quad \\ &\Leftrightarrow\quad\omega_f=\dfrac{\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0}{\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)}=\dfrac{\omega_0}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}<\omega_0. \end{aligned}\]

Alternativamente potevamo applicare direttamente (1), calcolandoci la posizione del centro di massa e la velocità del centro di massa, rispetto al polo O^{\prime} che sono

    \[r_{CM}=\dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\quad \text{e} \quad v_{CM}=\omega_fr_{CM},\]

da cui

    \[\begin{aligned} &L_f=L^\prime+L_{CM}=I_{CM}\omega_f+(m_1+m_2)r_{CM}v_{CM}=\\ &=\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2\left(d-\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2+m_1\left(\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2 \right)\omega_f+(m_1+m_2)\left( \dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\right)^2\omega_f=\\ &=\omega_f\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2\left(d-\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2+m_1\left(\dfrac{m_2d}{m_1+m_2} \right)^2 +(m_1+m_2)\left( \dfrac{m_2d}{m_1+m_2}\right)^2\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+\dfrac{m_2m^2_1d^2+m_1m^2_2d^2+m_1m^2_2d^2+m^3_2d^2}{(m_1+m_2)^2}\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\dfrac{(m_1+m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}\right)=\\ &=\omega_f\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\\ \end{aligned}\]

ed imponendo la conservazione del momento angolare giungiamo allo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Ricordiamo il teorema di Huygens-Steiner: il momento d’inerzia di un corpo di massa M rispetto ad un asse che si trova ad una distanza k dal centro di massa del corpo è dato da

(7)   \begin{equation*} I=I_{CM} + M k^2, \end{equation*}

dove I_{CM} è il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Combinando (1) con (7), l’energia totale di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse che si trova ad una distanza k dal centro di massa del corpo è data da6

    \[\begin{aligned} E_t & = \dfrac{1}{2} I \omega^2 = \dfrac{1}{2} \left(Mk^2+I_{CM}\right) \omega^2 = \\ & = \dfrac{1}{2} M k^2 \omega^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 = \dfrac{1}{2} M v_{CM}^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 \end{aligned}\]

da cui

(8)   \begin{equation*} E_t=\dfrac{1}{2} M v_{CM}^2 + \dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2 \end{equation*}

ed applicando (8), nell’istante t=t^*, abbiamo che

    \[E_t(t^*)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right) \omega^2_f.\]

Tenendo conto che l’energia inziale del sistema era puramente rotazionale, ovvero per il disco che ruotava rispetto al proprio asse, abbiamo che

    \[E_i=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_2r^2 \right) \omega^2_0,\]

Facendo la differenza tra le due possiamo determinare la differenza di energia cinetica nonché il lavoro delle forze di attrito:

    \[\begin{aligned} &E_t(t^*)-E_i=\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0}{\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2} \right)^2-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_2r^2\right)\omega^2_0=\\ &=\dfrac{1}{2} \; \dfrac{\dfrac{1}{4}m^2_2r^4\omega^2_0}{\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_2r^2\right)\omega^2_0=\\ &=\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(\dfrac{m_2r^2}{m_1R^2+m_2r^2+2m_2d^2}-1\right)=\\ &=\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}-1\right)=\\ &=-\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}\right)<0. \end{aligned}\]

Per il terzo punto del problema dobbiamo supporre che all’istante t=0 sia tutto in quiete e tramite un motore esterno il sistema sia portato a ruotare con una velocità angolare \Omega; tra disco e piattaforma non c’è attrito, quindi stavolta il disco si muoverà di moto traslatorio facendo un’orbita circolare rispetto ad O^{\prime} ma non ruoterà rispetto al proprio asse (vedi figura 3).

 

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L’energia inerziale del sistema è nulla poiché tutto è in quiete, mentre l’energia finale può essere espressa secondo (8) come segue:

    \[E_f=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2 \right) \Omega^2.\]

Facendo la differenza tra le due energie si ottiene il lavoro fatto dal motore

    \[\text{Lavoro motore}=E_f-E_i=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\Omega^2.\]

 

Diseguito un riassunto con tutti i risultati trovati.

 

  1. se scegliamo come polo il centro della piattaforma circolare, il momento angolare si conserva ed è pari a L=\dfrac{1}{2}m_2r^2\omega_0.
  2. La variazione di energia cinetica del sistema è

        \[\Delta E=-\dfrac{1}{4}m_2r^2\omega_0^2\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{R}{r}\right)^2+2\left(\dfrac{d}{r}\right)^2+1}\right)<0.\]

  3. Il lavoro del motore è

        \[E_f-E_i=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2+\dfrac{1}{2}m_2r^2+m_2d^2\right)\Omega^2.\]