Esercizio corpo rigido 44

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 44   (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una sfera omogenea di massa m e raggio R è appoggiata su di un piano orizzontale; il coefficiente di attrito dinamico vale \mu_d. All’istante t=0 la sfera viene messa in moto traslatorio con velocità v_0 parallela al piano. Si determini il moto della sfera, i valori dello spazio percorso \ell, del tempo \tau, della velocità dal centro di massa \tilde{v} e della velocità angolare \tilde{\omega}, in corrispondenza dei quali la sfera comincerà a rotolare senza strisciare. Si verifichi, inoltre, il teorema delle forze vive.

 

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Svolgimento.  La sfera si muove di moto rototraslatorio. Detto \tau l’istante in cui la sfera comincia a muoversi di moto di puro rotolamento, dobbiamo determinare la velocità angolare \omega(\tau)=\tilde{\omega} e v(\tau)=\tilde{v}. Ricordiamo la seconda legge cardinale dei corpi rigidi

(1)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O. Osserviamo che se scegliamo il punto di contatto P della sfera con il piano orizzontale si ha

(2)   \begin{equation*} \vec{v}_P \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0} \end{equation*}

e inoltre la somma di tutti i momenti esterni risulta nulla, quindi si conserva il momento angolare

(3)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{0}\quad \Rightarrow\quad\vec{L}=\text{costante}. \end{equation*}

Il momento angolare iniziale (rispetto a P) è[1]

    \[\vec{L}_{P,i}(0)=\vec{L}_{CM}+\vec{L}_P=mv_0R\,\hat{z}\]

mentre il momento angolare finale, ovvero nell’istante t=\tau, cioè quando la sfera inizia a muoversi di puro rotolamento, è

(4)   \begin{equation*} \vec{L}_{P,f}(\tau)=\vec{L}_{CM}+\vec{L}_P=\left(mv_{CM}\left(\tau\right)R+I_{CM}\omega\left(\tau\right)\right)\,\hat{z} \end{equation*}

dove I_{CM}=\dfrac{2}{5}mR^2 e v_{CM}=\omega R perché è la condizione di puro rotolamento, quindi

    \[\begin{aligned} \vec{L}_{P,f}&=\left(mv_{CM}\left(\tau\right)R+I_{CM}\omega\left(\tau\right)\right)\,\hat{z}=\left(\dfrac{2}{5}mR^2+mR^2\right)\tilde{\omega}\,\hat{z}=\dfrac{7}{5}mR^2\tilde{\omega}\,\hat{z}. \end{aligned}\]

Imponiamo la conservazione del momento angolare

    \[\begin{aligned} \vec{L}_{P,i}(0)=\vec{L}_{P,f}(\tau)\quad &\Leftrightarrow\quad mv_0R\,\hat{z}=\dfrac{7}{5}mR^2\tilde{\omega}\,\hat{z}\quad \Leftrightarrow \quad mv_0R=\dfrac{7}{5}mR^2\tilde{\omega}\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \tilde{\omega}=\dfrac{5v_0}{7R}. \end{aligned}\]

    \[\vec{v}_{CM}\left(\tau\right)=\omega\left(\tau\right)R=\tilde{\omega}R=\dfrac{5v_0}{7R}\cdot R=\dfrac{5v_0}{7}.\]

Per determinare il tempo \tau e la velocità del centro di massa in tale istante applichiamo la prima legge cardinale per i corpi rigidi. Al disco è applicata la forza di attrito dinamico \vec{f}_d nel punto di contatto P, la reazione vincolare \vec{N} è anch’essa applicata in P e infine la forza peso m\vec{g} è applicata al centro di massa; quindi, scegliendo come polo il centro di massa, si ha

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} -f_d=ma_{CM}\\\\ N=mg\\ \end{cases}. \end{equation*}

Ricordiamo che f_d=N\mu_d pertanto

(6)   \begin{equation*} a_{CM}=-g\mu_d \end{equation*}

da cui si trova che

(7)   \begin{equation*} v_{CM}\left(\tau\right)=\tilde{v}=v_0-g\mu_d\tau\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{5v_0}{7}=v_0-g\mu_d\tau \end{equation*}

cioè

(8)   \begin{equation*} \tau=\dfrac{2v_0}{7g\mu_d}. \end{equation*}

Per verificare il teorema delle forze vive o dell’energia-lavoro bisogna verificare che la variazione di energia cinetica corrisponde al lavoro fatto dalla forza di attrito dinamico. Pertanto calcoliamo la variazione di energia cinetica

    \[\begin{aligned} E(\tau)-E(0)&=\dfrac{1}{2}I_P\tilde{\omega}-\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{5}mR^2+mR^2\right)\tilde{\omega}^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2=\\ &\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{5}mR^2\right)\left(\dfrac{25v_0^2}{49R^2}\right)-\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{5}{14}mv_0^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2=-\dfrac{1}{7}mv_0^2. \end{aligned}\]

Per calcolare il lavoro della forza di attrito[2] dobbiamo calcolare il seguente integrale

(9)   \begin{equation*} \int_{0}^{\tau}-mg\mu_dv_P\,dt, \end{equation*}

dove[3]

    \[v_P=v_{CM}(t)-\omega(t)R=v_0-g\mu_dt-\frac{5g\mu_d}{2}t=v_0-\frac{7}{2}g\mu_dt.\]

Abbiamo dunque

    \[\begin{aligned} \int_{0}^{\tau}-mg\mu_dv_P\,dt&=-mg\mu_d\int_{0}^{\tau}\left(v_0-\frac{7}{2}g\mu_dt\right)dt=\\ &=-mg\mu_d\left(v_0\tau-\dfrac{7}{4}g\mu_d\tau^2\right)=\\ &=-mg\mu_d\left(v_0\left(\dfrac{2v_0}{7g\mu_d}\right)-\dfrac{7}{4}g\mu_d\left(\dfrac{2v_0}{7g\mu_d}\right)^2\right)=\\ &=-mg\mu_d\left(\dfrac{2v_0^2}{7g\mu_d}-\dfrac{v_0^2}{7g\mu_d}\right)=\\ &=-mg\mu_d\left(\dfrac{v_0^2}{7g\mu_d}\right)=-\dfrac{1}{7}mv_0^2, \end{aligned}\]

da cui

    \[\begin{aligned} E(\tau)-E(0)&=\int_{0}^{\tau}-mg\mu_dv_P\,dt=-\dfrac{1}{7}mv_0^2 \end{aligned}\]

che verifica il teorema dell’energia lavoro.

 

1. Si ricorda che in generale il momento angolare totale di un corpo rigido si può esprimere come segue

    \[\vec{L}= \vec{L}_{CM}+\vec{L}^{\,\prime},\]

dove \vec{L}^{\prime}=I_{CM}\vec{\omega} e \vec{L}_{CM}=m\vec{r}_{CM}\wedge\vec{v}_{CM}. Nel nostro caso inizialmente il sistema ha velocità angolare nulla e trasla con velocità \vec{v}_0 parallela al piano orizzontale, quindi

    \[\vec{L}^{\,\prime}=I_{CM}\vec{\omega}=\vec{0}\,\]

e

    \[\vec{L}_{CM}=mv_0R\,\hat{z}\]

cioè

    \[\vec{L}=\vec{L}_P=mv_0R\,\hat{z}.\]

2. La verifica del teorema delle forze vive è interessante. Occorre infatti moltiplicare la forza non per lo spazio percorso dal punto di contatto ma per la differenza fra questo e lo spazio di cui si spostano i punti sul bordo della sfera. Infatti per il teorema delle forze vive la variazione di energia cinetica nell’unità di tempo è data dalla forza per la velocità del punto su cui la forza agisce e questa è data dalla velocità di traslazione diminuita per la velocità periferica rispetto al centro.

3. Dalla seconda legge cardinale, scegliendo come polo il centro di massa, si trova che

    \[f_dR=mg\mu_dR=I_{CM}\alpha=\frac{2}{5}mR^2\alpha\]

cioè

    \[\alpha=\dfrac{5\mu_d g}{2R},\]

da cui

    \[\omega(t)=\alpha t=\dfrac{5\mu_d g}{2R}t.\]