Esercizio 39 . Una palla da bowling di raggio
e di massa
viene lanciata con velocità
, orientata come in figura 1, a contatto con una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico
. Determinare il tempo impiegato dalla palla a raggiungere la condizione di puro rotolamento, la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema in quell’istante.
Svolgimento. La situazione in questo problema è simile al problema esercizio corpo rigido 38. Nell’esercizio 38 il corpo rigido è un cilindro, avente velocità angolare iniziale diversa da zero e velocità iniziale del centro di massa nulla; in questo esercizio il corpo rigido è una sfera, avente velocità angolare iniziale nulla e velocità iniziale del centro di massa . Scegliamo un sistema di riferimento fisso
, orientato come in figura 2. Nell’istante in cui la palla entra in contatto con il piano orizzontale il sistema sarà sottoposto a una forza di attrito dinamico
e dunque la sfera si muoverà di moto rototraslatorio; su di essa agiscono la forza peso
, la reazione vincolare
generata dalla superficie di contatto e la forza di attrito dinamico
. In figura 2 viene rappresentato il diagramma delle forze agenti sulla palla.
Discutiamo il verso della forza di attrito dinamico . Per ipotesi, sappiamo che il centro di massa della palla ha una velocità iniziale
, il cui verso è concorde all’orientamento dell’asse positivo
; se la forza di attrito fosse anch’essa concorde con l’asse positivo delle
, avremmo che essa genererebbe un’accelerazione che farebbe aumentare il modulo della velocità iniziale, ovvero
per
. In questo scenario, avremmo che, per
, il centro di massa della palla acquisterebbe una velocità infinita e dunque un’energia traslazionale cinetica infinita; questo è assurdo, dunque deduciamo che la forza di attrito debba essere opposta a
. Scriviamo, ora, la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:
(1)
dove è il momento angolare totale del sistema rispetto a un polo
scelto,
indica la velocità del polo
,
è la velocità del centro di massa e
è la somma dei momenti meccanici calcolati rispetto ad
. Scegliamo come polo
il punto
, ossia il punto di contatto tra il cilindro e il piano. Notiamo che
per
, perchè
e
sono tra loro parallele. Inoltre, notiamo che le forze esterne (forza peso, reazione vincolare e forza di attrito dinamico) rispetto al punto
hanno momento nullo, pertanto si conserva il momento angolare del sistema. Inizialmente la palla non ruota ma trasla e basta, dunque all’istante
il punto
è in quiete, da cui, applicando il teorema König per il momento angolare, si ha
(2)
Raggiunta la condizione di puro rotolamento, avremo nuovamente che rispetto al sistema di riferimento
. Il momento angolare può essere calcolato applicando il teorema di König per il momento angolare, ossia sommando il momento angolare del sistema rispetto a
, indicato di seguito con
, con il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa. Avremo dunque:
(3)
dove è il momento d’inerzia della sfera e
è la velocità angolare che ha la sfera nell’istante in cui raggiunge il puro rotolamento. A questo punto, andiamo a sfruttare la conservazione del momento angolare. Possiamo scrivere:
(4)
Osserviamo che, poiché e la velocità del centro di massa sono vettori ortogonali, il loro prodotto vettoriale è uguale a un vettore che ha per modulo il prodotto dei loro moduli e che è orientato nella stessa direzione e verso di
. La (4) diventa dunque un’equazione scalare, ossia:
(5)
da cui, imponendo la condizione di puro rotolamento , otteniamo
(6)
cioè
La velocità del centro di massa si può ricavare dalla condizione di puro rotolamento, ovvero
Infine, per determinare il tempo impiegato dal sistema per raggiungere la condizione di puro rotolamento, utilizziamo la prima legge cardinale per i corpi rigidi. Abbiamo dunque
(7)
Troviamo che il centro di massa ha decelerazione costante nel tempo, dunque si muove di moto uniformemente decelerato. Dalla cinematica, sappiamo che
(8)
Ora, chiamando il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento, si ha
(9)
o anche
(10)
cioè