Esercizio corpo rigido 39

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Esercizio 39 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una palla da bowling di raggio $r$ e di massa $m$ viene lanciata con velocità $\vec{v}_0$ , orientata come in figura 1, a contatto con una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ . Determinare il tempo impiegato dalla palla a raggiungere la condizione di puro rotolamento, la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema in quell’istante.

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Svolgimento. La situazione in questo problema è simile al problema esercizio corpo rigido 38. Nell’esercizio 38 il corpo rigido è un cilindro, avente velocità angolare iniziale diversa da zero e velocità iniziale del centro di massa nulla; in questo esercizio il corpo rigido è una sfera, avente velocità angolare iniziale nulla e velocità iniziale del centro di massa $\vec{v}_0$ . Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , orientato come in figura 2. Nell’istante in cui la palla entra in contatto con il piano orizzontale il sistema sarà sottoposto a una forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ e dunque la sfera si muoverà di moto rototraslatorio; su di essa agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ generata dalla superficie di contatto e la forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ . In figura 2 viene rappresentato il diagramma delle forze agenti sulla palla.

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Discutiamo il verso della forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ . Per ipotesi, sappiamo che il centro di massa della palla ha una velocità iniziale $\vec{v}_0$ , il cui verso è concorde all’orientamento dell’asse positivo $x$ ; se la forza di attrito fosse anch’essa concorde con l’asse positivo delle $x$ , avremmo che essa genererebbe un’accelerazione che farebbe aumentare il modulo della velocità iniziale, ovvero $v_{CM}(t)>v_0$ per $t>0$ . In questo scenario, avremmo che, per $t\rightarrow\infty$ , il centro di massa della palla acquisterebbe una velocità infinita e dunque un’energia traslazionale cinetica infinita; questo è assurdo, dunque deduciamo che la forza di attrito debba essere opposta a $\vec{v}_0$ . Scriviamo, ora, la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_{O^{\prime}}}{dt}=\vec{M}^{\text{ext}}-m\,\vec{v}_{O^{\prime}}\wedge\vec{v}_{CM} \end{equation*}$

dove $\vec{L}_{O^{\prime}}$ è il momento angolare totale del sistema rispetto a un polo $O^{\prime}$ scelto, $\vec{v}_{O^{\prime}}$ indica la velocità del polo $O^{\prime}$ , $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa e $\vec{M}^{ext}$ è la somma dei momenti meccanici calcolati rispetto ad $O^{\prime}$ . Scegliamo come polo $O^{\prime}$ il punto $P$ , ossia il punto di contatto tra il cilindro e il piano. Notiamo che $\vec{v}_P\wedge\vec{v}_{CM}=\vec{0}$ per $t\geq0$ , perchè $\vec{v}_P$ e $\vec{v}_{CM}$ sono tra loro parallele. Inoltre, notiamo che le forze esterne (forza peso, reazione vincolare e forza di attrito dinamico) rispetto al punto $P$ hanno momento nullo, pertanto si conserva il momento angolare del sistema. Inizialmente la palla non ruota ma trasla e basta, dunque all’istante $t=0$ il punto $P$ è in quiete, da cui, applicando il teorema König per il momento angolare, si ha

(2) $\begin{equation*} \vec{L}_i=m\,\vec{r}\wedge\vec{v_0}. \end{equation*}$

Raggiunta la condizione di puro rotolamento, avremo nuovamente che $\vec{v}_P=\vec{0}$ rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ . Il momento angolare può essere calcolato applicando il teorema di König per il momento angolare, ossia sommando il momento angolare del sistema rispetto a $P$ , indicato di seguito con $L^{\prime}$ , con il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa. Avremo dunque:

(3) $\begin{equation*} \vec{L}_{f}=\vec{L}_{CM}+\vec{L^{\prime}}=m\,\vec{r}\wedge\vec{v}_{CM}+I_{CM}\vec{\omega}_f, \end{equation*}$

dove $I_{CM}=\dfrac{2}{5}mr^2$ è il momento d’inerzia della sfera e $\vec{\omega}_f$ è la velocità angolare che ha la sfera nell’istante in cui raggiunge il puro rotolamento. A questo punto, andiamo a sfruttare la conservazione del momento angolare. Possiamo scrivere:

(4) $\begin{equation*} \vec{L}_i=\vec{L}_f\quad\Rightarrow\quad m\,\vec{r}\wedge\vec{v_0}=m\,\vec{r}\wedge\vec{v}_{CM}+I_{CM}\vec{\omega}_f. \end{equation*}$

Osserviamo che, poiché $\vec{r}$ e la velocità del centro di massa sono vettori ortogonali, il loro prodotto vettoriale è uguale a un vettore che ha per modulo il prodotto dei loro moduli e che è orientato nella stessa direzione e verso di $\vec{\omega}_f$ . La (4) diventa dunque un’equazione scalare, ossia:

(5) $\begin{equation*} mrv_0=mrv_{CM}+I_{CM}\omega_f, \end{equation*}$

da cui, imponendo la condizione di puro rotolamento $v_{CM}=\omega_fr$ , otteniamo

(6) $\begin{equation*} mrv_0=m\omega_fr^2+\dfrac{2}{5}mr^2\omega_f\quad\Leftrightarrow\quad mrv_0=\dfrac{7}{5}mr^2\omega_f, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{\omega_f=\dfrac{5}{7}\,\dfrac{v_0}{r}.}$

La velocità del centro di massa si può ricavare dalla condizione di puro rotolamento, ovvero

$\boxcolorato{fisica}{v_{CM}=\omega_fr=\dfrac{5}{7}v_0.}$

Infine, per determinare il tempo impiegato dal sistema per raggiungere la condizione di puro rotolamento, utilizziamo la prima legge cardinale per i corpi rigidi. Abbiamo dunque

(7) $\begin{equation*} \begin{cases} f_d=-ma_{CM}\\ N=mg \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases} \mu_dN=-ma_{CM}\\ N=mg \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases} \mu_dmg=-ma_{CM}\\ N=mg \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a_{CM}=-\mu_dg. \end{equation*}$

Troviamo che il centro di massa ha decelerazione costante nel tempo, dunque si muove di moto uniformemente decelerato. Dalla cinematica, sappiamo che

(8) $\begin{equation*} v_{CM}(t)=v_0-\left \vert a_{CM}\right \vert t. \end{equation*}$

Ora, chiamando $t=\tilde{t}$ il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento, si ha

(9) $\begin{equation*} v_{CM}(\tilde{t})=v_0-\left \vert a_{CM}\right \vert \tilde{t}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{5}{7}v_0=v_0-\mu_dg\,\tilde{t}, \end{equation*}$

o anche

(10) $\begin{equation*} \dfrac{5}{7}v_0-v_0=-\mu_dg\,\tilde{t}, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{\tilde{t}=\dfrac{2v_0}{7g\mu_d}.}$