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Esercizio 37 . Due cilindri e , di masse e e raggi e rotolano senza strisciare su due piani inclinati e sono collegati da un filo inestensibile come è mostrato in figura; scende mentre sale. Le masse del filo e della carrucola sono trascurabili. Quanto vale l’accelerazione di un punto dell’asse di ?
Richiami teorici.
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne, è la quantità di moto totale del sistema, è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, è la velocità del centro di massa ed infine è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo . Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo
quindi (1) diventa
(2)
Se il corpo rigido ha la massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse rispetto al quale ruota, allora (2) può essere riscritta come segue
(3)
dove è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e è l’accelerazione angolare.
Svolgimento.
Ciò che accade è che il corpo scende e tramite la fune si trascina facendolo salire. Siccome i centri dei dischi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, allora il centro di massa di entrambi ha la stessa accelerazione in modulo. Applichiamo (3) ai due dischi
(4)
dove e sono i momenti d’inerzia rispetto al proprio centro di massa, è l’accelerazione angolare di e è l’accelerazione angolare di e infine e sono le accelerazioni dei centri di massa. Proiettiamo le forze agenti su sugli assi di e quelle agenti su lungo gli assi di ed inoltre, considerando i moduli dei momenti esterni e tenendo conto che , otteniamo il seguente sistema
(5)
Siccome il moto è di puro rotolamento per entrambi i dischi, vale che
e tenendo conto che il filo è inestensibile e di massa trascurabile abbiamo
per cui (5) diventa
(6)
Se sommiamo membro a membro le prime due equazioni di (5) e teniamo conto di (6) e (6) otteniamo la seguente equazione
da cui ricaviamo l’accelerazione del centro di massa
Dunque la risposta al quesito del problema è quella che segue
1. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo ↩
2. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo ↩
Fonte.
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