Esercizio 37 . Due cilindri
e
, di masse
e
e raggi
e
rotolano senza strisciare su due piani inclinati e sono collegati da un filo inestensibile come è mostrato in figura;
scende mentre
sale. Le masse del filo e della carrucola sono trascurabili. Quanto vale l’accelerazione di un punto dell’asse di
?
Richiami teorici.
Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne,
è la quantità di moto totale del sistema,
è la somma di tutti i momenti esterni al sistema,
è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema,
è la velocità del centro di massa ed infine
è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo
.
Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo
quindi (1) diventa
(2)
Se il corpo rigido ha la massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse rispetto al quale ruota, allora (2) può essere riscritta come segue
(3)
dove è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e
è l’accelerazione angolare.
Svolgimento. Osserviamo che e
si muovono di puro rotolamento quindi il punto di contatto di entrambi con il piano inclinato è istantaneamente fermo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Se scegliamo come polo per il calcolo dei momenti esterni il centro di massa o il punto di contatto, allora è valida (2); inoltre i due dischi possiedono una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il loro centro di massa o per il punto di contatto quindi è valida pure (3).
I due dischi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola, quindi su di essi sono applicate due forze uguali in modulo (vedi figura 2). Sul disco agisce la tensione
e sul disco
agisce la tensione
. Inoltre sul disco
è applicata la forza peso
nel centro di massa[1]., la forza di attrito statico
e la reazione vincolare
generate dal contatto tra il disco e il piano inclinato, invece sul cilindro
agisce la forza peso
applicata nel centro di massa[2], la forza di attrito statico
e la reazione vincolare
generate dal contatto tra il disco e il piano inclinato.
Scegliamo due sistemi di riferimento fissi e
come rappresentato nella figura 2.
Ciò che accade è che il corpo scende e tramite la fune si trascina
facendolo salire. Siccome i centri dei dischi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, allora il centro di massa di entrambi ha la stessa accelerazione
in modulo.
Applichiamo (3) ai due dischi
(4)
dove e
sono i momenti d’inerzia rispetto al proprio centro di massa,
è l’accelerazione angolare di
e
è l’accelerazione angolare di
e infine
e
sono le accelerazioni dei centri di massa.
Proiettiamo le forze agenti su sugli assi di
e quelle agenti su
lungo gli assi di
ed inoltre, considerando i moduli dei momenti esterni e tenendo conto che
, otteniamo il seguente sistema
(5)
Siccome il moto è di puro rotolamento per entrambi i dischi, vale che
e tenendo conto che il filo è inestensibile e di massa trascurabile abbiamo
per cui (5) diventa
(6)
Se sommiamo membro a membro le prime due equazioni di (5) e teniamo conto di (6) e (6)
otteniamo la seguente equazione
da cui ricaviamo l’accelerazione del centro di massa
Dunque la risposta al quesito del problema è quella che segue
1. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo ↩
2. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo ↩
Fonte: S.Rosati, R.Casali – Problemi di fisica generale, Ambrosiana (1998).