L’Esercizio Corpo Rigido 36 è il trentaseiesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 35 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 37. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.
Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.
Testo esercizio corpo rigido 36
Esercizio 36 . Un cilindro di massa
e raggio
è posato nel punto di mezzo di una lastra lunga
; il sistema è in quiete. Al tempo
la lastra entra in movimento con accelerazione costante
diretta come in figura. Calcolare l’accelerazione del cilindro rispetto alla lastra e lo spazio percorso dal cilindro rispetto al suolo da quando esso entra in moto a quando cade dalla lastra. Assumere che il moto del cilindro sia di puro rotolamento.
Svolgimento.
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne,
è la quantità di moto totale del sistema,
è la somma di tutti i momenti esterni al sistema,
è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema,
è la velocità del centro di massa ed infine
è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo
.
Nel problema abbiamo un cilindro con massa indipendente dal tempo quindi (1) diventa:
dove è l’accelerazione del centro di massa.
Il cilindro si muove di puro rotolamento e ciò vuol dire che per un osservatore solidale con la lastra, istante per istante, il punto di contatto
è istantaneamente fermo e quindi è come se ogni elemento elementare
, facente parte del cilindro, si muovesse di moto circolare rispetto al punto
ovvero deve sussistere la seguente condizione:
dove è la velocità del punto
rispetto ad un osservatore solidale con la lastra,
è la velocità angolare e
è l’accelerazione angolare del cilindro.
Per il calcolo dei momenti esterni del cilindro scegliamo come polo il centro di massa, allora (1)
diventa
poichè essendo il polo
.
Inoltre, il cilindro ha la massa distribuita in modo omogeneo e possiede una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace, quindi
dove è il momento d’inerzia dell’anello rispetto al centro di massa e
è l’accelerazione angolare del cilindro.
Pertanto (1) diventa
(2)
Le forze esterne all’anello sono la forza peso , la reazione vincolare
e la forza di attrito statico
generate dal contatto tra cilindro e lastra.
Scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso
e un sistema di riferimento non inerziale
solidale con la lastra (vedi figura 2).
In figura 2 rappresentiamo il sistema all’istante dove
. Dopo tale istante, per
il sistema entra in movimento.
Osserviamo che mettendoci nel sistema di riferimento solidale con la lastra, il cilindro è soggetto oltre alle forze esterne dette prima anche alla forza apparente
.
Applichiamo (2) al cilindro e ponendoci nel sistema di riferimento solidale con la lastra abbiamo
con accelerazione del centro di massa del cilindro rispetto alla lastra.
È importante osservare che il moto del cilindro è di puro rotolamento rispetto alla lastra e quindi dalla condizione di puro rotolamento possiamo imporre che
, dunque possiamo riscrivere il sistema come segue
Dal precedente sistema otteniamo
(3)
concludendo che l’accelerazione relativa rispetto alla lastra è
Ci viene richiesto di determinare lo spazio percorso dal cilindro rispetto al suolo da quando entra in moto a quando cade dal carrello. Sappiamo che nel sistema di riferimento solidale con la lastra, il cilindro, nell’istante in cui cade dalla lastra, percorre uno spazio pari ad e sapendo che l’accelerazione relativa tra cilindro e lastra è costante possiamo determinare il tempo impiegato dal cilindro per percorrere tale spazio applicando la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
(4)
dove è la posizione generica del cilindro rispetto al sistema di riferimento solidale con la lastra in un generico istante
e
è la velocità relavità iniziale tra cilindro e lastra.
Chiamiamo
l’istante di tempo necessario a far percorre al cilindro
e poniamo
. Sapendo che all’istante iniziale era tutto in quiete, la velocità relativa
l’equazione (4) diventa:
(5)
Confrontando (3) con (5) abbiamo
(6)
Nel tempo e rispetto al sistema di riferimento fisso, la lastra avrà percorso uno spazio
e sfruttando (4) però stavolta rispetto al sistema di riferimento fisso e tenendo conto che all’istante iniziale era tutto in quiete abbiamo
(7)
(8)
In figura 3 rappresentiamo il cilindro che sta per cadere dal carrello.
e sapendo che la relazione tra le posizioni del centro di massa del cilindro misurate rispetto ai due sistemi di riferimenti è
dove è lo spazio percorso rispetto al sistema fisso dal cilindro nel tempo
, allora possiamo concludere che lo spazio cercato è
Fonte.
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