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Esercizio 35 . Un disco cilindrico omogeneo, di massa e raggio , è sorretto, come mostrato in figura 1, da un nastro di massa trascurabile: i tratti di nastro non a contatto col disco sono verticali mentre l’asse del disco è orizzontale. Un’estremità del nastro è fissata a un sostegno, sull’altra viene esercitata una forza diretta verso l’alto. L’attrito fra nastro e disco è trascurabile. Si calcoli:
- l’intensità della forza necessaria affinché sussista equilibrio e, corrispondentemente, la tensione del tratto di filo al quale è applicata la forza e quella del tratto di filo fissato al sostegno;
- il modulo dell’accelerazione con cui il disco sale e il modulo delle tensioni e , se .
- Si risponda alla domanda posta in ) se il nastro presenta attrito e il disco sale rotolando senza scivolare lungo il nastro (moto di puro rotolamento).
Svolgimento Punto 1.
Scriviamo le equazioni cardinali della statica per il disco: imponiamo che la somma delle forze esterne e dei momenti esterni che agiscono sul disco siano entrambi nulli, scegliendo come polo per il calcolo dei momenti l’origine del sistema di riferimento utilizzato. In questa configurazione, essendo la forza peso applicata in , essa non genera alcun momento esterno. Le equazioni dell’equilibrio sono quindi:
(1)
da cui
Applichiamo la seconda legge della dinamica all’elemento infinitesimo del nastro al quale è applicata la forza . Siccome ha massa trascurabile, si ha .
Svolgimento Punto 2.
(2)
Dalla (2) si ricava che , dunque in definitiva la (2) diventa
(3)
da cui
I moduli delle tensioni sono
Svolgimento Punto 3.
Applichiamo dunque la prima e la seconda equazione cardinale della dinamica scegliendo come polo per il calcolo dei momenti esterni. Notiamo che le forze , , , , , , e , non generano alcun momento esterno in quanto sono forze interne al sistema. Avremo dunque
(4)
da cui
(5)
o anche, sfruttando la relazione , si ha
(6)
(7)
da cui
(8)
cioè
Le tensioni e sono forze interne del sistema disco+nastro. Pertanto, dobbiamo considerare il solo elemento infinitesimo a contatto con il piano superiore e l’elemento infinitesimo del nastro dove è applicata la forza . Per la seconda legge della dinamica abbiamo
(9)
Sostituendo il valore di (definita in (7)) in (9), si ottiene
(10)
Si conclude che
Fonte.
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