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Esercizio corpo rigido 34

Dinamica del corpo rigido

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L’Esercizio Corpo Rigido 34 è il trentaquattresimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 33 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 35. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 34

Esercizio 34 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Il guscio sferico uniforme rappresentato in figura, di massa M e raggio R, ruota intorno a un asse verticale su cuscinetti privi di attrito. Una corda priva di massa avvolta intorno all’equatore della sfera, passando senza slittamenti sopra una puleggia, priva di attrito, avente momento d’inerzia I e raggio r, tiene appeso un piccolo oggetto di massa m, libero peraltro di cadere per effetto della forza di gravità.
La corda non slitta e il perno è privo di attrito. Quale sarà la velocità dell’oggetto dopo che sarà disceso per una distanza h dalla posizione di riposo?

 

 

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Figura 1.

 

Richiami teorici.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -M_T\, \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O\prime è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_{O^\prime} è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime. Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo

\[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},\]

quindi (1) diventa

(2) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{cases} \end{equation*}

Se il corpo rigido ha massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse rispetto al quale ruota, allora (2) può essere riscritta come segue

(3) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=m\vec{a}_{CM}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}=I\vec{\alpha}, \end{cases} \end{equation*}

dove \vec{a}_{CM} è l’accelerazione del centro di massa, I è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e \vec{\alpha} è l’accelerazione.

Premessa.

Presentiamo due diversi metodi risolutivi: uno basato su considerazioni di carattere dinamico e uno su considerazioni di carattere energetico.

 


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