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Esercizio corpo rigido 33

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 33 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un anello di massa m e raggio r viene fatto salire lungo una parete verticale tramite l’applicazione di una forza costante \vec{F}, ed è tenuto premuto contro la parete verticale da una forza costante \vec{R}. Le forze \vec{F} e \vec{R} sono orientate come in figura 1 e sono costanti in modulo, direzione e verso per tutto il moto dell’anello. Nell’ipotesi che il piano verticale sia scabro con coefficiente di attrito statico \mu_s e che l’anello si muova di puro rotolamento, si determini:

  • il modulo dell’accelerazione del centro di massa dell’anello;
  • il valore minimo del modulo di \vec{R} affinché il moto sia di puro rotolamento.

 

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Svolgimento Punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’origine coincidente all’istante t=0 con il centro di massa dell’anello e con asse l’asse y parallelo alla parete verticale[1]. L’anello è sottoposto alle forze esterne \vec{F}, \vec{R}, la reazione vincolare \vec{N}, la sua forza peso m\vec{g} e la forza di attrito statico \vec{f}; tutte le forze sono rappresentate in figura 2.

 

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Nel contatto tra l’anello e la parete verticale si genera la forza di attrito statico \vec{f} e la reazione vincolare \vec{N}. La reazione vincolare \vec{N} è uguale ed opposta alla forza esterna \vec{R}. Inoltre, abbiamo supposto che la forza di attrito statico \vec{f} sia concorde al verso positivo dell’asse delle y perché deve generare un momento esterno al sistema che si opponga al momento esterno generato da \vec{F}. Se così non fosse, avremmo che entrambi i momenti favorirebbero la rotazione dell’anello e pertanto, per un tempo t\rightarrow+\infty, l’anello acquisterebbe energia rotazionale infinita, il che è assurdo. Scegliamo come polo per il calcolo dei momenti esterni il punto di contatto P tra l’anello e la parete; notiamo che le uniche forze esterne che generano un momento esterno non nullo[2] sono \vec{F} e la forza peso m\vec{g}. Dunque, applicando la seconda legge cardinale per i corpi rigidi, si ha

(1)   \begin{equation*} 2Fr-mgr=I_P\alpha, \end{equation*}

dove \alpha è l’accelerazione angolare dell’anello e I_P è il momento di inerzia del corpo rigido rispetto al polo P, che nel caso di un anello risulta essere I_P=2mr^2. Il fatto che I_P=2mr^2 si dimostra, ad esempio, applicando il teorema di Huygens-Steiner. Avremo dunque

(2)   \begin{equation*} 2Fr-mgr=2mr^2\alpha. \end{equation*}

Per la condizione di puro rotolamento abbiamo che v_{CM}=\omega r con \omega velocità angolare del disco, da cui a_{CM}=\alpha r, e quindi l’equazione (2) diventa

(3)   \begin{equation*} 2F-mg=2ma_{CM}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{a_{CM}=\dfrac{2F-mg}{2m}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Per risolvere questo punto, sfruttiamo la prima legge cardinale per i corpi rigidi. Lungo l’asse delle x avremo che la somma delle forze esterne agenti sul sistema sarà nulla, in quanto la reazione vincolare \vec{N} della parete è uguale e contraria alla forza \vec{R}, ossia abbiamo N=R. Lungo la direzione y invece avremo

(4)   \begin{equation*} F+f-mg=ma_{CM}\quad\Leftrightarrow\quad f=m(g+a_{CM})-F. \end{equation*}

Sappiamo inoltre, per definizione, che la forza di attrito statico dovrà essere tale che

(5)   \begin{equation*} f\leq\mu_sN=\text{Forza di attrito statico massima}; \end{equation*}

tuttavia, dal momento che N=R, la relazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} f\leq\mu_sR. \end{equation*}

Sostituendo la forza di attrito statico f, espressa nell’equazione (4), nella relazione (6) si ottiene

(7)   \begin{equation*} m(g+a)-F\leq\mu_sR\quad\Leftrightarrow\quad R\geq\dfrac{m(g+a)-F}{\mu_s}. \end{equation*}

Dalla relazione (7) deduciamo che il valore minimo che può assumere R è

    \[\boxcolorato{fisica}{R_{min}=\dfrac{m(g+a)-F}{\mu_s}.}\]

 

1. Si suppone che all’istante t=0 il sistema sia in quiete. ↩

 

2. Infatti, si ha che \vec{f} è applicata a P e dunque ha momento nullo, mentre \vec{R} è parallela al vettore posizione che la congiunge con P, dunque anche essa genera un momento esterno nullo. ↩

 


 
 

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