Esercizio corpo rigido 29

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L’Esercizio Corpo Rigido 29 è il ventinovesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 28 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 30. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Corpo rigido: materiale affine

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Corpo rigido – testo e soluzione dell’esercizio

Esercizio 29 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un cilindro di raggio $R$ e massa $m$ è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito statico vale $\mu$ . In corrispondenza al centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore $r$ ; si supponga che questo fatto non alteri il momento d’inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze $F_1$ e $F_2$ come mostrato in figura. Supponendo che $F_1$ sia data e $F_2$ no, si richiede di

1) calcolare quanto deve valere $F_2$ in funzione di $F_1$ , $r$ e $R$ , affinché il cilindro resti in equilibrio.

All’istante $t=0$ la forza $F_1$ cessa di agire, mentre $F_2$ ha il valore trovato nel punto $1)$ .

2) Trovare la relazione che deve sussistere affinché il moto sia di puro rotolamento.

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Figura 1.

Richiami teorici.

Ricordiamo in generale la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases}, \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutte le forze esterne, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_{O^\prime}$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_{O^\prime}$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O^\prime$ .