Esercizio corpo rigido 30

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L’Esercizio Corpo Rigido 30 è il trentesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 29 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 31. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Testo esercizio corpo rigido 30

Esercizio 30 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un anello di acciaio di massa $m$ e raggio $R$ può scendere lungo un piano inclinato di acciaio (coefficiente di attrito statico $\mu_s$ ).

Calcolare l’angolo del piano inclinato con l’orizzontale oltre il quale non è più possibile un moto di puro rotolamento, denominando tale angolo $\theta_{\text{\tiny max}}$ .
Partendo da fermo e con il centro a quota $h$ , l’anello scende lungo tutto il piano inclinato con moto di puro rotolamento dove l’angolo di inclinazione $\theta$ del piano inclinato è $\theta_{\text{\tiny max}}$ . Calcolare la velocità angolare finale dell’anello.

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Figura 1: schema del problema.

Richiami teorici.

La prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi sono rispettivamente:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}} - m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}, \end{cases} \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutte le forze esterne, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni, $\vec{v}_{O^\prime}$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa e $\vec{L}_{O^\prime}$ è il momento angolare totale rispetto al polo $O^\prime$ .
Consderiamo il triangolo rettangolo rappresentato nella figura 2.

Figura 2: triangolo rettangolo generico.

Si ricorda che dato un triangolo rettangolo, un cateto può essere espresso come:

$\begin{aligned} &a=i\cos \beta \, ,\,\,a=i\sin \alpha. \\ &b=i\cos \alpha\, , \,\, b=i \sin \beta. \end{aligned}$
Il teorema di Huygens-Steiner afferma che: il momento d’inerzia di un corpo di massa $m$ rispetto ad un asse che si trova ad una distanza $r$ dal centro di massa del corpo è dato da:

(2) $\begin{equation*} I=I_{CM} + m r^2, \end{equation*}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.