Esercizio corpo rigido 31

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 31  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cilindro omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare su un piano orizzontale sotto l’azione di una forza costante \vec{F} orizzontale e passante per il centro di massa del cilindro. Sapendo che il cilindro parte da fermo, determinare:
1) l’accelerazione lineare del centro di massa del cilindro;
2) l’energia cinetica del cilindro dopo un tempo \tilde{t} dall’applicazione della forza \vec{F}.

 

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Richiami di teoria.

Prima di iniziare l’esercizio è importante ricordare alcune premesse teoriche importanti, ovvero la teoria riguardo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_{O^\prime} è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime. Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo

    \[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},\]

quindi (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{cases} \end{equation*}

Se il corpo rigido ha massa indipendente dal tempo e se \vec{L} è parallela ad \vec{\omega}, allora (2) può essere riscritta come segue

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=m\vec{a}_{CM}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}=I\vec{\alpha}, \end{cases} \end{equation*}

dove I è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e \alpha è l’accelerazione angolare.

Svolgimento Punto 1.

Rappresentiamo il cilindro osservandone la sezione

 

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dove \vec{F} è la forza esterna applicata al centro di massa. Siccome il corpo rigido si muove con un moto di puro rotolamento, il punto di contatto P deve rimanere istantaneamente fermo rispetto ad uno osservatore fisso e pertanto è presente la forza di attrito statico \vec{f}_s[1].

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy. Dalla prima e seconda legge cardinale per i corpi rigidi, scegliendo come polo il centro di massa per il calcolo dei momenti esterni, possiamo impostare il seguente sistema[2]:

    \[\begin{cases} F-f_s=ma_{CM}\\\\ f_s R =I_{CM} \alpha, \end{cases}\]

dove I_{CM}=\dfrac{1}{2}mR^2 è il momento d’inerzia del cilindro pieno. Siccome il cilindro si muove di puro rotolamento allora v_{CM}=\omega R da cui a_{CM}=\alpha R, quindi

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} F-f_s=ma_{CM}\\ \\ f_s R =\dfrac{1}{2}mR^2\cdot\dfrac{a_{CM}}{R}=\dfrac{1}{2}mRa_{CM}. \end{cases} \end{equation*}

Dall’ultima equazione del sistema possiamo ricavarci

(5)   \begin{equation*} f_s = \dfrac{1}{2}ma_{CM} \end{equation*}

e sostituendola nella prima equazione di (4) abbiamo

    \[F-\dfrac{1}{2}mRa_{CM}=ma_{CM}\quad \Leftrightarrow \quad F=\dfrac{3}{2}mRa_{CM} \quad \Leftrightarrow \quad a_{CM}=\dfrac{2F}{3m}.\]

Si conclude che l’accelerazione del centro di massa è

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_{CM}=\dfrac{2F}{3m}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Il cilindro si muove di puro rotolamento quindi possiamo immaginarci che istantaneamente è come se ruotasse rispetto ad una asse passante per il punto P (centro di istantanea rotazione) e quindi la sua energia cinetica è solo rotazionale, ovvero

    \[E=\dfrac{1}{2}I_P\omega^2,\]

dove I_P è il momento d’inerzia rispetto a P e \omega è la velocità angolare del cilindro in un generico istante. Calcoliamo I_P applicando il teorema di Huygens-Steiner come segue

(6)   \begin{equation*} I_P=I_{CM} + m R^2=\dfrac{1}{2}mR^2+ m R^2=\dfrac{3}{2}mR^2, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}I_P\omega^2=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{3}{2}mR^2\right)\omega^2=\dfrac{3}{4}mR^2\omega^2. \end{equation*}

Non ci resta che calcolare la velocità angolare \omega, come possiamo osservare l’accelerazione angolare è costante, pertanto vale quanto segue

    \[\omega=\omega_i+\alpha t,\]

dove \omega_i è la velocità angolare iniziale del cilindro; essendo il cilindro inizialmente fermo, si ha

(8)   \begin{equation*} \omega=\alpha t. \end{equation*}

Pertanto utilizzando il valore trovato di a_{CM} e (8), (6) possiamo riscrivere (7) come segue

    \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}mR^2\cdot \dfrac{1}{R^2}\left(\dfrac{2F}{3m}\right)^2t^2=\dfrac{3}{4}m\cdot \dfrac{4F^2}{9m^2}t^2=\dfrac{F^2}{3m}t^2. \end{equation*}

e posto t=\tilde{t} abbiamo

    \[E=\dfrac{F^2}{3m}\left(\tilde{t}\right)^2.\]

Dunque, concludiamo che l’energia che ha il cilindro all’istante t=\tilde{t} è

    \[\boxcolorato{fisica}{ E=\dfrac{F^2}{3m}\left(\tilde{t}\right)^2.}\]

 

Osservazioni.

1. La forza di attrito statico è disegnata nel verso opposto di \vec{F} perché si deve opporre agli effetti generati da tale forza; infatti \vec{F} vuol far traslare il cilindro verso destra ma \vec{f}_s si oppone al moto. Analogamente, se avessimo un momento esterno tale da far ruotare il cilindro in senso orario, la forza di attrito statico sarebbe direzionata in modo tale da produrre un altro momento esterno teso ad opporsi agli effetti del primo momento esterno, ovvero produrrebbe un momento esterno teso a far ruotare il cilindro in senso antiorario.

 

2. Siccome \vec{F} è applicata proprio nel centro di massa, ha momento nullo.

 

 

Fonte.

P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).