Esercizio corpo rigido 29

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 29
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 29  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cilindro di raggio R e massa m è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito statico vale \mu. In corrispondenza al centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore r; si supponga che questo fatto non alteri il momento d’inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F_1 e F_2 come mostrato in figura. Supponendo che F_1 sia data e F_2 no, si richiede di

1) calcolare quanto deve valere F_2 in funzione di F_1, r e R, affinché il cilindro resti in equilibrio.

All’istante t=0 la forza F_1 cessa di agire, mentre F_2 ha il valore trovato nel punto 1).

2) TTrovare la relazione che deve sussistere affinché il moto sia di puro rotolamento.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Richiami teorici. Ricordiamo in generale la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_{O^\prime} è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime.

 

Svolgimento punto 1.  Poiché il sistema deve rimanere in equilibrio, (1) diventa:

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0} \end{cases}, \end{equation*}

dove le forze esterne nel nostro problema sono \vec{F_1}, \vec{F}_2 e  la forza di attrito statico \vec{f}.

In figura rappresentiamo le forze agenti sul cilindro e scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Per il calcolo dei momenti scegliamo il centro del cilindro come polo e da (2) abbiamo

    \[\begin{cases} F_1=f\\ N=mg-F_2\\ F_1 r - F_2 R + fR = 0 \end{cases}\]

e risolvendo il sistema troviamo che:

(3)   \begin{equation*} F_2 = \dfrac{F_1 r + F_1R}{R}=F_1\left(1+\dfrac{r}{R}\right), \end{equation*}

pertanto la forza \vec{F}_2 cercata è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{F}_2=F_2\, \hat{y}=F_1\left(1+\dfrac{r}{R}\right) \hat{y}.}\]

 

Punto 2. In questa situazione togliamo la forza \vec{F}_1 dal sistema e lasciamo \vec{F}_2 al valore precedentemente trovato.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Il sistema entrerà in moto e quello che può avvenire è che il cilindro si muovi facendo un moto roto-traslatorio, ovvero che un po’ rotola e un po’ striscia oppure che si muova di puro rotolamento, nel senso che sussista la condizione che il punto di contatto con il terreno tra cilindro sia istantaneamente fermo:

    \[\vec{v}_{CM}=-\vec{\omega} \wedge \vec{R} \quad \Rightarrow \quad \vec{a}_{CM}=-\vec{\alpha} \wedge \vec{R},\]

dove \vec{a}_{CM} è l’accelerazione del centro di massa e \omega è la velocità angolare con il quale ruota il cilindro.
Ora applichiamo (1) scegliendo come polo il centro di massa per il calcolo dei momenti esterni. Abbiamo \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0} poiché il polo O^\prime coincide con il centro di massa, quindi:

    \[\begin{cases} F_2 + N - mg =0\\ f=ma_{CM}\\ F_2 R -f R = I_{CM} \alpha\quad \Leftrightarrow \quad F_2 R -f R = \dfrac{1}{2}mR^2\alpha = \dfrac{1}{2}ma_{CM}R \end{cases}\]

e risolvendo il sistema troviamo

    \[F_2 R - ma_{CM}R = \dfrac{1}{2}ma_{CM} R\quad\Leftrightarrow \quadF_2 = \dfrac{3}{2}ma_{CM},\]

da cui

    \[\boxed{a_{CM} = \dfrac{2F_2}{3m}.}\]

Allora

    \[\boxed{f = \dfrac{2F_2 }{3m} \; m = \dfrac{2F_2 }{3}.}\]

Ricordiamo che affinchè il punto di contatto tra cilindro e terreno rimanga fermo deve sussistere la condizione:

(4)   \begin{equation*} f \le N \mu \end{equation*}

e sostituendo i valori trovati in precendenza in (4) abbiamo

    \[f \le N \mu \; \Leftrightarrow \; \dfrac{2 F_2}{3} \le \mu(F_2-mg) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2\left(F_1r+F_1R\right)}{3R} \le \mu \left(\dfrac{F_1r+F_1R}{R} -mg\right).\]

Dunque concludiamo che la relazione richiesta affinché il cilindro si muova di puro rotolamento deve essere

    \[\boxcolorato{fisica}{ \left( \dfrac{F_1r+F_1R}{R}\right) \left(\mu-\dfrac{2}{3}\right)\geq mg\mu.}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)