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Esercizio corpo rigido 29

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 29 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cilindro di raggio R e massa m è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito statico vale \mu. In corrispondenza al centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore r; si supponga che questo fatto non alteri il momento d’inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F_1 e F_2 come mostrato in figura. Supponendo che F_1 sia data e F_2 no, si richiede di

1) calcolare quanto deve valere F_2 in funzione di F_1, r e R, affinché il cilindro resti in equilibrio.

All’istante t=0 la forza F_1 cessa di agire, mentre F_2 ha il valore trovato nel punto 1).

2) Trovare la relazione che deve sussistere affinché il moto sia di puro rotolamento.

 

 

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Richiami teorici.

Ricordiamo in generale la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_{O^\prime} è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime.

 

Svolgimento Punto 1.

Poiché il sistema deve rimanere in equilibrio, (1) diventa:

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0} \end{cases}, \end{equation*}

dove le forze esterne nel nostro problema sono \vec{F_1}, \vec{F}_2 e  la forza di attrito statico \vec{f}.

In figura rappresentiamo le forze agenti sul cilindro e scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy:

 

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Per il calcolo dei momenti scegliamo il centro del cilindro come polo e da (2) abbiamo

    \[\begin{cases} F_1=f\\ N=mg-F_2\\ F_1 r - F_2 R + fR = 0 \end{cases}\]

e risolvendo il sistema troviamo che:

(3)   \begin{equation*} F_2 = \dfrac{F_1 r + F_1R}{R}=F_1\left(1+\dfrac{r}{R}\right), \end{equation*}

pertanto la forza \vec{F}_2 cercata è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{F}_2=F_2\, \hat{y}=F_1\left(1+\dfrac{r}{R}\right) \hat{y}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

In questa situazione togliamo la forza \vec{F}_1 dal sistema e lasciamo \vec{F}_2 al valore precedentemente trovato.

 

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Il sistema entrerà in moto e quello che può avvenire è che il cilindro si muovi facendo un moto roto-traslatorio, ovvero che un po’ rotola e un po’ striscia oppure che si muova di puro rotolamento, nel senso che sussista la condizione che il punto di contatto con il terreno tra cilindro sia istantaneamente fermo:

    \[\vec{v}_{CM}=-\vec{\omega} \wedge \vec{R} \quad \Rightarrow \quad \vec{a}_{CM}=-\vec{\alpha} \wedge \vec{R},\]

dove \vec{a}_{CM} è l’accelerazione del centro di massa e \omega è la velocità angolare con il quale ruota il cilindro. Ora applichiamo (1) scegliendo come polo il centro di massa per il calcolo dei momenti esterni. Abbiamo \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0} poiché il polo O^\prime coincide con il centro di massa, quindi:

    \[\begin{cases} F_2 + N - mg =0\\ f=ma_{CM}\\ F_2 R -f R = I_{CM} \alpha\quad \Leftrightarrow \quad F_2 R -f R = \dfrac{1}{2}mR^2\alpha = \dfrac{1}{2}ma_{CM}R \end{cases}\]

e risolvendo il sistema troviamo

    \[F_2 R - ma_{CM}R = \dfrac{1}{2}ma_{CM} R\quad\Leftrightarrow \quad F_2 = \dfrac{3}{2}ma_{CM},\]

da cui

    \[\boxed{a_{CM} = \dfrac{2F_2}{3m}.}\]

Allora

    \[\boxed{f = \dfrac{2F_2 }{3m} \; m = \dfrac{2F_2 }{3}.}\]

Ricordiamo che affinché il punto di contatto tra cilindro e terreno rimanga fermo deve sussistere la condizione

(4)   \begin{equation*} f \le N \mu \end{equation*}

e sostituendo i valori trovati in precendenza in \eqref{condizione} abbiamo

    \[f \le N \mu \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2 F_2}{3} \le \mu(F_2-mg) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2\left(F_1r+F_1R\right)}{3R} \le \mu \left( mg-\dfrac{F_1r+F_1R}{R}\right).\]

Dunque concludiamo che la relazione richiesta affinché il cilindro si muova di puro rotolamento deve essere:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \left( \dfrac{F_1r+F_1R}{R}\right) \left(\mu+\dfrac{2}{3}\right)\geq mg\mu.}\]

 

Fonte.

P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).

 
 

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