Esercizio corpo rigido 27

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 27  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due blocchi di uguale massa m sono sospesi alle estremità di un’asticella rigida e priva di peso di lunghezza \ell_1+\ell_2, essendo \ell_1=20 cm e \ell_2 = 80 cm. L’asticella è tenuta ferma nella posizione indicata in figura, e quindi lasciata libera. Calcolare l’accelerazione dei due blocchi all’istante in cui cominciano a muoversi.

 

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy con O coincidente con il vincolo(vedi figura):

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Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= {\vec{M}_O\,}^{\text{\tiny ext}}-m\, \vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} \end{equation*}

dove \vec{v}_0 è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa e \vec{M}_O è la somma di tutti momenti esterni rispetto ad O.

Siccome l’asta è priva di massa si ha che

    \[\dfrac{d\vec{L}}{dt}= \vec{0}\]

il polo O che andremo a scegliere è fisso quindi

    \[\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0}\]

e quindi (1) diventa

    \[{\vec{M}_O\,}^{\text{\tiny ext}}=\vec{0}\]

Ricordiamo che il secondo principio della dinamica afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}.
Scegliendo O come polo per il calcolo dei momenti sull’asta e tenendo conto che le forze esterne sono le tensioni T_1 e T_2, provocate dai fili supposti inestensibili e di massa trascurabile che collegano l’asta ai punti materiali, inoltre applicando la seconda legge della dinamica ai punti materiali si ha che:

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1 \ell_1 - T_2 \ell_2 = 0\\ T_1 - mg = ma_1\\ T_2 - mg = -ma_2 \end{cases} \end{equation*}

abbiamo supposto che la massa collegata al filo che provoca la tesione T_1 salga mentre la massa collegata al filo T_2 scenda.
Da (2)_2 ci ricaviamo

(3)   \begin{equation*} T_1 = mg + ma_1 = m(g+a_1) \end{equation*}

e da (2)_3 ci ricaviamo

(4)   \begin{equation*} T_2 = mg - ma_2 = m(g-a_2) \end{equation*}

Sostituendo (3) e (4) in (2)_1 otteniamo

    \[\begin{aligned} T_1 \ell_1 - T_2 \ell_2 = 0 &\quad  \Leftrightarrow \quad m(g+a_1)\ell_1 - m(g-a_2)\ell_2 = 0 \quad \Leftrightarrow\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad (g+a_1)\ell_1 -(g-a_2)\ell_2=0 \end{aligned}\]

Osserviamo che all’istante iniziale l’asta è ferma e inzialmente le due masse tenderanno a far ruotare l’asta facendo un moto circolare. Definendo \alpha l’accelerazione angolare del sistema si ha che : a_i=\alpha \ell_i con i=1,2.
Da cui:

    \[\begin{aligned} (g+a_1)\ell_1 -(g-a_2)\ell_2=0 & \quad \Leftrightarrow\quad  (g+\alpha \ell_1) \ell_1 - (g - \alpha\ell_2) \ell_2 = 0 \quad \Leftrightarrow \\\\ & \Leftrightarrow \quad \alpha(\ell_2^2+\ell_1^2) = g (\ell_2-\ell_1)\quad  \Leftrightarrow \\\\ & \Leftrightarrow \quad \alpha = \dfrac{g (\ell_2-\ell_1)}{(\ell_2^2+\ell_1^2)} = 8,65 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \end{aligned}\]

e quindi si trova che il modulo dell’accelerazione dei due punti materiale all’istante iniziale è:

    \[a_1 = \alpha \ell_1 = \dfrac{g \ell_1 (\ell_2-\ell_1)}{(\ell_2^2+\ell_1^2)} \qquad \mbox{e} \qquad a_2 = \alpha \ell_2 = \dfrac{g \ell_2 (\ell_2-\ell_1)}{(\ell_2^2+\ell_1^2)}\]

Sostituendo i valori numerici si trova che

    \[\boxcolorato{fisica}{a_1 = 1,73 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \qquad \mbox{e} \qquad a_2 = 6.92 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.}\]

 

Fonte: Sergio Rosati e Lionel Lovitch – Problemi di fisica generale, Ambrosiana.