L’Esercizio Corpo Rigido 26 è il ventiseiesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 25 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 27. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.
Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.
Testo esercizio corpo rigido 26
Esercizio 26 
. Un’asta rettilinea omogenea è appoggiata ad un pavimento orizzontale e a una parete verticale, entrambi perfettamente lisci, in posizione verticale. Data l’instabilità dell’equilibrio l’asta inizia a scivolare senza attrito partendo praticamente da ferma. Determinare la posizione dell’asta nell’istante in cui si distacca dalla parete verticale. Si ipotizzi che l’asta scivoli in sento antiorario come in figura.
Svolgimento.
(1) 
dove 
è la massa dell’asta [1].
Scriviamo la posizione del centro di massa in coordinate polari
![\[\begin{cases} x_{cm} = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta\\\\ y_{cm} = \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dot{x}_{cm} = - \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \; \dot{\theta}\\\\ \dot{y}_{cm} = \dfrac{\ell}{2} \cos \theta \; \dot{\theta} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \ddot{x}_{cm} = -\dfrac{\ell}{2}\left( \cos \theta \; \dot{\theta}^2 + \sin \theta \; \ddot{\theta} \right)\\\\ \ddot{y}_{cm} = \dfrac{\ell}{2}\left( -\sin \theta \; \dot{\theta}^2 + \cos \theta \; \ddot{\theta} \right). \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb373977c4f7b6709f9182d91cd94b62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nell’istante del distacco, come già detto si ha 
, allora
![\[\cos \theta \; \dot{\theta}^2 + \sin \theta \; \ddot{\theta} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{\theta} = - \dfrac{\dot{\theta}^2}{\tan \theta}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eca04e66942a1ea9ecc6253c95ddd8f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo quanto appena ottenuto nella terza equazione del sistema (1) si ottiene
![\[\begin{aligned} &N_A\dfrac{\ell}{2}\cos \theta=-\dfrac{1}{12}m\ell^2\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow\quad N_A\cos\theta=-\dfrac{m\ell}{6}\,\ddot{\theta}\\ &\Leftrightarrow\quad \cos \theta \left(mg+m\ddot{y}_{cm}\right)=-\dfrac{m\ell}{6}\,\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad g \cos \theta +\dfrac{\ell}{2} \cos \theta\left(-\sin\theta\,\dot{\theta}^2+\cos\theta \,\ddot{\theta} \right)=-\dfrac{m\ell}{6}\,\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow \quad \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c08ec4d09c04b75f3b473048a4ea493d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{aligned} &\Leftrightarrow \quad g \cos \theta -\dfrac{\ell}{2}\sin\theta \cos \theta\,\dot{\theta}^2+\dfrac{\ell}{2}\cos^2\theta \,\ddot{\theta} =-\dfrac{\ell}{6}\,\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow\quad\\ &\Leftrightarrow\quad g \cos \theta =\dfrac{\ell}{2}\sin \theta \cos \theta \,\dot{\theta}^2-\dfrac{\ell}{2}\cos ^2\theta\, \ddot{\theta}-\dfrac{\ell}{6}\,\ddot{\theta} \quad\Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad g \cos \theta =\dfrac{\ell}{2}\sin \theta \cos \theta\,\dot{\theta}^2-\dfrac{\ell}{2}\cos^2 \theta\left( - \dfrac{\dot{\theta}^2}{\tan \theta}\right)-\dfrac{\ell}{6}\left( - \dfrac{\dot{\theta}^2}{\tan \theta}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad g \cos \theta=\dfrac{\ell\,\dot{\theta}^2}{2}\left(\sin \theta \cos \theta+\dfrac{\cos^3 \theta}{\sin\theta}+\dfrac{\cos\theta}{3\sin\theta}\right)\quad\Leftrightarrow\quad \\ &\quad\Leftrightarrow\quad g =\dfrac{\ell\,\dot{\theta}^2}{2}\left(\sin \theta+\dfrac{\cos^2 \theta}{\sin\theta}+\dfrac{1 }{3\sin\theta}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad g\sin \theta =\dfrac{\ell\,\dot{\theta}^2}{2}\left(\sin \theta^2+\cos^2 \theta+\dfrac{1 }{3}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad g\sin \theta =\dfrac{\ell\,\dot{\theta}^2}{2}\left(1 +\dfrac{1 }{3}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad g\sin \theta =\dfrac{\ell\,\dot{\theta}^2}{2}\left(\dfrac{4 }{3}\right)=\dfrac{2\ell\,\dot{\theta}^2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad\dot{\theta}^2=\dfrac{3g}{2\ell}\sin\theta. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81c9c1bf85475a36e63a24dc347495b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dalla conservazione dell’energia, applicando il teorema di König, si trova che
![\[\dfrac{1}{2}m \left(\dot{x}_{cm}^2 + \dot{y}_{cm}^2\right) + \dfrac{1}{2} I_{CM} \dot{\theta}^2 = \dfrac{1}{2} \left(m \dfrac{\ell^2}{4} \, \dot{\theta}^2\right) + \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{m}{12}\right)\ell^2 \; \dot{\theta}^2 = \dfrac{1}{6}m \ell^2 \; \dot{\theta}^2 = \dfrac{mg}{2} \left(\ell-\ell \sin \theta \right)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa413983e2b64a1e3d046b8557107c6b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi
![\[\dot{\theta}^2 = \dfrac{3g(1-\sin \theta)}{\ell} =\dfrac{3g}{2\ell}\sin\theta\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d43b52a3da00a8d1740936a336a88091_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
cioè
![\[\sin \theta=\dfrac{2}{3}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-419d0b8876387bb2c3fadb8e3b419626_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Secondo procedimento.
La posizione del centro di massa e del CIR:
![\[CM = \left(\dfrac{\ell}{2} \cos \theta, \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \right) \qquad \mbox{e} \qquad \mbox{CIR}=\left( \ell \cos \theta, \ell \sin \theta \right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f7dafae21e41224843ad084c341f12b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La distanza fra il centro di massa e il CIR è 
.
Dalla conservazione dell’energia imponendo:
![\[\dfrac{1}{2} I_{\mbox{\small{CIR}}} \, \dot{\theta}^2 = \dfrac{1}{2} \left(m \dfrac{\ell^2}{4} + \dfrac{1}{12} m \ell^2\right) \dot{\theta}^2 = \dfrac{1}{6} m \ell^2 \dot{\theta}^2 = mg \dfrac{\ell}{2}(1-\sin \theta)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a294fab28868a4f143f2ded31727d21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mettendo a sistema l’ultima equazione trovata con 
, si trova che
![\[\sin \theta = \dfrac{2}{3}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97c0d0b5eea747c124862567ed6be783_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è proprio l’angolo del distacco.
1. Si osservi che abbiamo messo il segno negativo nel membro destro della terza equazione del sistema. Il motivo è semplice, solitamente si assume per convenzione che 
per una rotazione antioraria e 
per una rotazione oraria rispetto ad un angolo che il corpo rigido formi con l’asse delle 
nel verso opposto a quello indicato in figura 1; pertanto la convenzione, nel nostro problema, è opposta a quella descritta. Dunque, sia 
l’angolo definito secondo convenzione, allora 
da cui 
. Detto in altri termini: quando l’asta scivola ruota in senso antiorario quindi il suo momento angolare è positivo, ma poiché theta decresce 
è negativo e quindi per avere momento angolare positivo dobbiamo porre 
. ↩
Fonte.
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