Esercizio corpo rigido 15

Home » Esercizio corpo rigido 15

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Le due masse $m_1=3,0\,\text{kg}$ e $m_2=5,0\,\text{kg}$ della macchina di Atwood mostrata nella figura sono rilasciate da ferme, con $m_1$ a un’altezza $h=0,75\,\text{m}$ al di sopra del pavimento. Quando $m_2$ colpisce il pavimento, la sua velocità è $v_2=1,8\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ . Assumendo che la carrucola sia un disco con la massa distribuita in modo uniforme di raggio $r=12\,\text{cm}$ e che la corda, supposta priva di massa, ruoti insieme alla carrucola senza strisciare:
si determini la massa $M$ della carrucola supponendo che non vi sia alcun attrito tra il disco della carrucola e il perno centrale attorno a cui ruota.

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento. Analizziamo il sistema composto dalla carrucola e dal filo privo di massa. Le forze esterne sono le tensioni $\vec{T}_1$ , $\vec{T}_2$ , la forza peso della carrucola e la reazione vincolare del perno. Definiamo un sistema di riferimento $Oy$ orientato come in figura 2.

Rendered by QuickLaTeX.com

Osserviamo che $m_2>m_1$ , pertanto si conferma che il corpo $m_1$ sale e il corpo $m_2$ scende.
Scegliendo come polo il centro del disco per il calcolo dei momenti esterni, si ha

(1) $\begin{equation*} T_2r-T_1r=I\alpha=\dfrac{1}{2}Mr^2\alpha, \end{equation*}$

dove $\alpha$ è l’accelerazione angolare del disco e $I$ è il momento di inerzia rispetto al centro del disco.

Per ipotesi sappiamo che la corda ruota senza strisciare sulla carrucola; questo implica che tra le due (carrucola e filo) vi sia una forza di attrito statico che fa sì che la corda non abbia alcun moto relativo rispetto alla carrucola. Questo basta ad affermare che le tensioni ai capi della fune non siano uguali tra loro e dunque nella trattazione che segue si supporrà $T_1\neq T_2$ .
Applichiamo la seconda legge della dinamica sia per la massa $m_1$ che per la massa $m_2$ , ottenendo

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} -T_1+m_1g=-m_1a_1\\ -T_2+m_2g=m_2a_2, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a_1$ e $a_2$ indicano rispettivamente l’accelerazione angolare della massa $m_1$ e quella della massa $m_2$ . Mettendo a sistema (1) e (2) si ottiene

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} T_2r-T_1r=\dfrac{1}{2}Mr^2\alpha\\ -T_1+m_1g=-m_1a_1\\ -T_2+m_2g=m_2a_2. \end{cases} \end{equation*}$

Inoltre, per ipotesi sappiamo che la fune aderisce perfettamente alla carrucola senza strisciare su di essa e che dunque essa ruota con la stessa accelerazione $\alpha$ con cui ruota la carrucola, pertanto si ha $a_1/r=a_2/r=\alpha$ . Sfruttando quanto detto, si può riscrivere il sistema (3) come segue

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} T_2-T_1=\dfrac{1}{2}Mr\alpha\\ -T_1+m_1g=-m_1\alpha r\\ -T_2+m_2g=m_2\alpha r \end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -m_2\alpha r+m_2g-m_1\alpha r-m_1g=\dfrac{1}{2}Mr\alpha\\ T_1=m_1\alpha r+m_1g\\ T_2=-m_2\alpha r+m_2g. \end{cases} \end{equation*}$

Ricaviamo dunque, dalla prima equazione del sistema:

(5) $\begin{equation*} m_2g-m_1g=\alpha\left(m_2r+m_1r+\dfrac{1}{2}Mr\right)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha=\dfrac{g(m_2-m_1)}{\left(m_2+m_1+\dfrac{1}{2}M\right)r}. \end{equation*}$

Osserviamo che $\alpha$ è costante; di conseguenza anche $a_1$ e $a_2$ sono accelerazioni costanti e questo ci permette di affermare che, durante il suo moto di discesa, la massa $m_2$ si muove di moto uniformemente accelerato. Pertanto, si ha\footnote{Si ricordi che $v^2(y)=v_i^2+2\Delta y \,a$ , dove $v_i$ è la velocità iniziale e $a$ è l’accelerazione costante.}

(6) $\begin{equation*} v_2^2=2a_2h, \end{equation*}$

da cui, ricordando che $a_2=\alpha r$ e sfruttando la (5), si ottiene

(7) $\begin{equation*} v_2^2=2\alpha rh=2g\left(\dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1+\dfrac{1}{2}M}\right)\,\dfrac{1}{r}\,rh=\dfrac{2g(m_2-m_1)h}{m_2+m_1+\dfrac{1}{2}M}. \end{equation*}$

Abbiamo ottenuto dunque l’espressione

(8) $\begin{equation*} m_2+m_1+\dfrac{1}{2}M=\dfrac{2gh(m_2-m_1)}{v_2^2}, \end{equation*}$

da cui possiamo ricavare la massa $M$ della carrucola:

$\boxcolorato{fisica}{M=\dfrac{4gh(m_2-m_1)}{v_2^2}.}$

Fonte: ignota.